Cho hàm số $f(x) = \log_{2}2022 - \ln\dfrac{x + 1}{x}$. Giá trị của $S = f'(1) + f'(2) + \ldots + f'(2022)$

Câu hỏi số 980261:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \log_{2}2022 - \ln\dfrac{x + 1}{x}$. Giá trị của $S = f'(1) + f'(2) + \ldots + f'(2022)$ bằng

A. $S = \dfrac{1011}{2023}$.

B. $S = \dfrac{2021}{2022}$.

C. $S = \dfrac{2022}{2023}$.

D. $S = \dfrac{2021}{2022}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980261

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của logarit để biến đổi hàm số trước khi tính đạo hàm. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$, sau đó thay các giá trị tương ứng vào biểu thức đạo hàm để tính tổng $S$ bằng phương pháp triệt tiêu các số hạng liên tiếp đối nhau.

Giải chi tiết

Với $x > 0$, ta sử dụng tính chất logarit của một thương để viết lại hàm số $f(x)$ như sau:

$f(x) = \log_{2}2022 - (\ln(x + 1) - \ln x) = \log_{2}2022 - \ln(x + 1) + \ln x$.

$f'(x) = 0 - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$.

Thay vào biểu thức tính tổng $S$ ta có $S = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2022)$

$S = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{2022} - \dfrac{1}{2023}} \right)$

$S = 1 - \dfrac{1}{2023} = \dfrac{2023 - 1}{2023} = \dfrac{2022}{2023}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.