Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết số
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết số đo của góc nhị diện $\left\lbrack {B,\ SC,\ D} \right\rbrack$ bằng 120◦. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
Đáp án đúng là: 9
Quảng cáo
Xác định góc nhị diện $\left\lbrack {B,SC,D} \right\rbrack.$ Góc phẳng nhị diện là $\widehat{BMD} = 120^{\circ},$ với $BM\bot SC.$
Tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SA$.
Gọi $O$ là tâm đáy. $AC \cap BD = O$. $\left. BD = 3\sqrt{2}\Rightarrow BO = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right.$.
Ta có $\left. \left\{ \begin{matrix} {BD\bot AC} \\ {BD\bot SA\ } \end{matrix} \right.\Rightarrow BD\bot\left( {SAC} \right)\Rightarrow BD\bot SC. \right.$
Kẻ $BM\bot SC.$ Ta thấy $\left. \left\{ \begin{matrix} {BM\bot SC} \\ {BD\bot SC} \end{matrix} \right.\Rightarrow SC\bot\left( {MBD} \right)\Rightarrow SC\bot DM. \right.$
Như vậy ta thấy $\widehat{BMD}$ là góc phẳng nhị diện tương ứng với góc nhị diện $\left\lbrack {B,SC,D} \right\rbrack.$
Trong $\Delta BMD$ cân tại $M$, có $\left. \widehat{BMD} = 120^{\circ}\Rightarrow\widehat{BMO} = 60^{\circ} \right.$.
Xét $\Delta BOM$ vuông tại $O$: $OM = BO \cdot \cot\left( 60^{\circ} \right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Ta có đường cao BM trong tam giác vuông SBC suy ra $\dfrac{1}{BM^{2}} = \dfrac{1}{SB^{2}} + \dfrac{1}{BC^{2}}$
Mặt khác, trong $\Delta BOM$: $BM = \dfrac{BO}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{6}$.
Thế vào hệ thức trên: $\left. \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{SB^{2}} + \dfrac{1}{3^{2}}\Rightarrow\dfrac{1}{SB^{2}} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3 - 2}{18} = \dfrac{1}{18}\Rightarrow SB^{2} = 18 \right.$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$: $\left. SA^{2} = SB^{2} - AB^{2} = 18 - 3^{2} = 9\Rightarrow SA = 3 \right.$
Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 3 = 9$
Đáp án cần điền là: 9
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
