Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 6x - 12y + 20 = 0$ có

Câu hỏi số 981440:

Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 6x - 12y + 20 = 0$ có tâm $I$. Đường thẳng $d: 3x - 4y = 0$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $Q, R$. Diện tích tam giác $IQR$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:981440

Phương pháp giải

- Từ phương trình đường tròn $(C)$, xác định tọa độ tâm $I(a; b)$ với $a = \dfrac{-6}{-2}$, $b = \dfrac{-12}{-2}$ và tính bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

- Kẻ $IH \perp d$ tại $H$ ($H$ là trung điểm của dây cung $QR$). Tính khoảng cách $IH = d(I, d)$ theo công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

- Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $IHR$ để tìm độ dài $HR = \sqrt{R^2 - IH^2}$, từ đó suy ra độ dài dây cung $QR = 2HR$.

- Tính diện tích tam giác $IQR$ bằng công thức $S_{\Delta IQR} = \dfrac{1}{2} \cdot IH \cdot QR$.

Giải chi tiết

Đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 6x - 12y + 20 = 0$ có tâm $I(3; 6)$ và bán kính là:

$R = \sqrt{3^2 + 6^2 - 20} = \sqrt{25} = 5$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$. Khi đó $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $QR$ và độ dài $IH$ chính là khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$.

Khoảng cách từ tâm $I(3; 6)$ đến đường thẳng $d: 3x - 4y = 0$ là:

$IH = d(I, d) = \dfrac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 3$

Vì $IH = 3 < R = 5$ nên đường thẳng $d$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $Q, R$.

Xét tam giác vuông $IHR$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$HR = \sqrt{IR^2 - IH^2} = \sqrt{R^2 - IH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

Độ dài dây cung $QR$ là: $QR = 2 \cdot HR = 2 \cdot 4 = 8$

Diện tích tam giác $IQR$ là: $S_{\Delta IQR} = \dfrac{1}{2} \cdot IH \cdot QR = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12$

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.