Số cấp số cộng dạng $\log_{b}a,$ $\text{log}_{7}b,$ $\text{log}_{b}a$ thỏa mãn $a,$ $7,$ $b$ $\left( {1

Câu hỏi số 981449:

Vận dụng

Số cấp số cộng dạng $\log_{b}a,$ $\text{log}_{7}b,$ $\text{log}_{b}a$ thỏa mãn $a,$ $7,$ $b$ $\left( {1 < a < b} \right)$ tạo thành một cấp số nhân là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:981449

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất cấp số nhân: $b^{2} = ac,$ tính chất cấp số cộng: $2b = a + c$ và công thức $\log_{a}b = \dfrac{1}{\log_{b}a}.$

Giải chi tiết

Cấp số nhân $\left. a,\ 7,\ b\Rightarrow 7^{2} = ab\Rightarrow ab = 49\Rightarrow b = \dfrac{49}{a} \right.$.

Cấp số cộng: $x = \log_{b}a$, $y = \log_{7}b$, $z = \log_{a}b.$

Ta có $x + z = 2y$

Lưu ý $z = \log_{a}b = \dfrac{1}{\log_{b}a} = \dfrac{1}{x}$. Đồng thời ta có $\left. 1 < a < b\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {x = \log_{b}a < 1} \\ {z = \log_{a}b > 1} \end{matrix} \right. \right.$

Vậy $x + \dfrac{1}{x} = 2\log_{7}b$. Lại có $\log_{b}a = \log_{b}\left( \dfrac{49}{b} \right) = \log_{b}49 - 1 = 2\log_{b}7 - 1$.

Đặt $t = \log_{7}b$. Khi đó $\log_{b}7 = \dfrac{1}{t}$.

Suy ra $x = \dfrac{2}{t} - 1$.

Phương trình thu được là $\left( {\dfrac{2}{t} - 1} \right) + \dfrac{1}{\dfrac{2}{t} - 1} = 2t$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left( {\dfrac{2}{t} - 1} \right)^{2} + 1 = 2t\left( {\dfrac{2}{t} - 1} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{4}{t^{2}} - \dfrac{4}{t} + 1 + 1 = 4 - 2t \right. \\ \left. \Leftrightarrow 4 - 4t + 2t^{2} = 4t^{2} - 2t^{3} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2t^{3} - 2t^{2} - 4t + 4 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = \sqrt{2}\ \ } \\ {t = - \sqrt{2}} \\ {t = 1\ \ \ \ \ \ } \end{array} \right. \right. \end{array}$

Sau khi có $t$, công sai $d = y - x = t - \left( {\dfrac{2}{t} - 1} \right).$

Trường hợp 1: $\left. t = \sqrt{2}\Rightarrow d = 1 \right.$

Trường hợp 2: $\left. t = - \sqrt{2}\Rightarrow d = 1 \right.$

Trường hợp 3: $\left. t = 1\Rightarrow d = 0 \right.$ (loại vì cấp số cộng này có $x < 1 < z)$

Như vậy chỉ có 1 công sai thỏa mãn. Ta tìm số hạng đầu.

Ta có $t = \log_{7}b.$

Trường hợp 1: $\left. t = \sqrt{2}\Rightarrow b = 7^{\sqrt{2}}\Rightarrow a = \dfrac{49}{7^{\sqrt{2}}} = 7^{2 - \sqrt{2}}\Rightarrow\log_{b}a = \log_{7^{\sqrt{2}}}\left( 7^{2 - \sqrt{2}} \right) = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1. \right.$

Trường hợp 2:

$\left. t = - \sqrt{2}\Rightarrow b = 7^{- \sqrt{2}}\Rightarrow a = \dfrac{49}{7^{- \sqrt{2}}} = 7^{2 + \sqrt{2}}\Rightarrow\log_{b}a = \log_{7^{- \sqrt{2}}}\left( 7^{2 + \sqrt{2}} \right) = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{- \sqrt{2}} = - \sqrt{2} - 1. \right.$

Vậy có 2 số hạng đầu thỏa mãn.

Suy ra ta có 2 cấp số cộng thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.