Cho đường tròn $x^{2} - 4x + y^{2} = 0$. Độ dài nhỏ nhất của dây cung đi qua điểm $\left( {1;1}

Câu hỏi số 981459:

Vận dụng

Cho đường tròn $x^{2} - 4x + y^{2} = 0$. Độ dài nhỏ nhất của dây cung đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$ là

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

B. $2\sqrt{2}.$

C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$

D. $\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:981459

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính đường tròn. Trong một đường tròn, dây cung đi qua một điểm $M$ nằm trong đường tròn sẽ có độ dài ngắn nhất khi dây cung đó vuông góc với đường kính đi qua $M.$

Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến $M$ và tính độ dài dây cung.

Giải chi tiết

Ta có tâm đường tròn là $\left. I\left( {\dfrac{- 4}{- 2};0} \right)\Rightarrow I\left( {2;0} \right). \right.$ Bán kính đường tròn là $\sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2.$

Lại có khoảng cách từ tâm $I$ đến $M\left( {1;1} \right)$ là $d = IM = \sqrt{\left( {1 - 2} \right)^{2} + \left( {1 - 0} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {- 1} \right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}.$

Gọi độ dài dây cung là $L$. Lưu ý khi đường kính vuông góc với dây cung thì sẽ đi qua trung điểm của dây cung đó.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tạo bởi bán kính $R$, khoảng cách $d$ và một nửa dây cung $\left( \dfrac{L}{2} \right)$:

$\left( \dfrac{L}{2} \right)^{2} + d^{2} = R^{2}$$\left. \Rightarrow\left( \dfrac{L}{2} \right)^{2} = R^{2} - d^{2} = 2^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2} = 4 - 2 = 2 \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{L}{2} = \sqrt{2} > 0 \right. \\ \left. \Rightarrow L = 2\sqrt{2}. \right. \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.