Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1;1;0} \right)$, $B\left( {5; - 3;2} \right)$ và $C\left( {0;4; -

Câu hỏi số 981474:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1;1;0} \right)$, $B\left( {5; - 3;2} \right)$ và $C\left( {0;4; - 1} \right).$ Xét điểm $M$ thay đổi sao cho diện tích tam giác ABM bằng $6\sqrt{2}$. Đoạn thẳng MC có độ dài nhỏ nhất bằng

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

B. $2\sqrt{2}.$

C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$

D. $\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:981474

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ C đến trục AB bằng cách tìm hình chiếu H của C lên đường thẳng AB và tính độ dài đoạn CH.

So sánh khoảng cách CH với CM để tìm giá trị nhỏ nhất của MC.

Giải chi tiết

Ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {5 - 1; - 3 - 1;2 - 0} \right) = \left( {4; - 4;2} \right).$

Độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{4^{2} + {( - 4)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Diện tích tam giác ABM được tính bằng công thức: $S_{ABM} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot d\left( {M,AB} \right)$

Theo đề bài $S_{ABM} = 6\sqrt{2}$, ta có:

$\left. 6\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot d(M,AB)\Rightarrow 6\sqrt{2} = 3 \cdot d\left( {M,AB} \right)\Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = 2\sqrt{2} \right.$

Đường thẳng AB đi qua $A\left( {1;1;0} \right)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{2}\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {2; - 2;1} \right).$

Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = 1 - 2t} \\ {z = t} \end{array} \right.$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C\left( {0;4; - 1} \right)$ lên AB.

Khi đó $H \in AB$ nên $H\left( {1 + 2t;1 - 2t;t} \right).$

Vectơ $\overset{\rightarrow}{CH} = \left( {1 + 2t - 0;1 - 2t - 4;t - \left( {- 1} \right)} \right) = \left( {2t + 1; - 2t - 3;t + 1} \right).$

Vì $\overset{\rightarrow}{CH}\bot\overset{\rightarrow}{u}$ nên tích vô hướng:

$\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{CH} = 2\left( {2t + 1} \right) - 2\left( {- 2t - 3} \right) + 1\left( {t + 1} \right) = 0$$\left. \Leftrightarrow 4t + 2 + 4t + 6 + t + 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9t + 9 = 0\Leftrightarrow t = - 1 \right.$

Suy ra tọa độ điểm $H\left( {- 1;3; - 1} \right).$

Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng AB là đoạn CH:

$CH = \sqrt{\left( {- 1 - 0} \right)^{2} + \left( {3 - 4} \right)^{2} + \left( {- 1 - \left( {- 1} \right)} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {- 1} \right)^{2} + \left( {- 1} \right)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

Để độ dài MC nhỏ nhất, M phải là điểm sao cho M, C, H thẳng hàng theo thứ tự. Khi đó MH đạt giá trị nhỏ nhất vì $MH\bot AB$ (tức là $MH$ là khoảng cách $\left. {d\left( {M,AB} \right)} \right).$

Độ dài nhỏ nhất là: $MC_{\min} = MH_{\min} - CH = d\left( {M,AB} \right) - CH = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.