Số hoán vị $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ của các số $1, 2, 3, \dots, 10$ để

Câu hỏi số 981667:

Vận dụng

Số hoán vị $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ của các số $1, 2, 3, \dots, 10$ để $\sqrt{a_1a_2a_3}, \sqrt{a_4a_5a_6}, \sqrt{a_7a_8a_9}$ đều là các số nguyên bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2592

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:981667

Phương pháp giải

Phân tích các số từ $1$ đến $10$ ra thừa số nguyên tố.

Điều kiện để căn bậc hai của tích $3$ số nguyên dương là một số nguyên thì tích của $3$ số đó phải là một số chính phương. Một số là số chính phương khi và chỉ khi số mũ của các thừa số nguyên tố trong dạng phân tích tiêu chuẩn của nó là các số chẵn.

Lập luận dựa vào các thừa số nguyên tố đặc biệt để tìm ra các bộ $3$ số có tích là số chính phương.

Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị để đếm số cách sắp xếp thỏa mãn.

Giải chi tiết

Tập hợp các số đã cho là $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$.

Phân tích các số trong $S$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$1; 2; 3; 4=2^2; 5; 6=2 \cdot 3; 7; 8=2^3; 9=3^2; 10=2 \cdot 5$.

Yêu cầu bài toán tương đương với việc chia các hoán vị sao cho tích của các nhóm $3$ số ở các vị trí $(a_1,a_2,a_3)$, $(a_4,a_5,a_6)$, $(a_7,a_8,a_9)$ đều là các số chính phương.

Nhận thấy trong tập $S$ chỉ có duy nhất số $7$ chứa thừa số nguyên tố $7$.

Nếu $7$ nằm trong một trong ba nhóm trên thì tích của nhóm đó sẽ chứa thừa số $7$ với số mũ $1$ (là số lẻ), nên không thể là số chính phương.

Do đó, $7$ không thể thuộc $3$ nhóm này.

Suy ra bắt buộc $a_{10} = 7$. (Có $1$ cách chọn $a_{10}$).

Chín số còn lại là $S \setminus \{7\} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10\}$ được chia làm $3$ tập con, mỗi tập $3$ phần tử sao cho tích các phần tử trong mỗi tập là số chính phương.

Xét thừa số nguyên tố $5$: Chỉ có số $5$ và $10 = 2 \cdot 5$ chứa thừa số $5$.

Để tổng số mũ của cơ số $5$ là số chẵn, hai số này bắt buộc phải nằm trong cùng một tập.

Giả sử tập đó là $\{5; 10; x\}$.

Tích của tập này là $50x = 2 \cdot 5^2 \cdot x$.

Để đây là số chính phương thì $x = 2k^2$ ($k \in \mathbb{N}^*$).

Trong các số còn lại của $S \setminus \{7\}$, các số có dạng $2k^2$ là $2$ và $8$.

Vậy có $2$ trường hợp:

Trường hợp 1: Tập thứ nhất là $\{2; 5; 10\}$. Tích bằng $100 = 10^2$.

Các số còn lại cần chia vào hai tập là $\{1; 3; 4; 6; 8; 9\}$.

Xét thừa số nguyên tố $3$: Chỉ có $3; 6=2 \cdot 3; 9=3^2$ chứa thừa số $3$.

Để tổng số mũ của $3$ trong mỗi tập là chẵn thì $3$ và $6$ phải ở cùng một tập.

Giả sử tập đó là $\{3; 6; y\}$.

Tích của tập là $18y = 2 \cdot 3^2 \cdot y$.

Để tích này là số chính phương thì $y = 2m^2$.

Trong các số còn lại $\{1; 4; 8; 9\}$, chỉ có $8$ có dạng $2m^2$.

Suy ra $y = 8$. Vậy tập thứ hai là $\{3; 6; 8\}$.

Tích bằng $144 = 12^2$.

Tập thứ ba gồm các số còn lại là $\{1; 4; 9\}$. Tích bằng $36 = 6^2$ (thỏa mãn).

Ta được $1$ cách chia $9$ số thành $3$ tập con: $A = \{\{2; 5; 10\}, \{3; 6; 8\}, \{1; 4; 9\}\}$.

Trường hợp 2: Tập thứ nhất là $\{5; 8; 10\}$. Tích bằng $400 = 20^2$.

Các số còn lại là $\{1; 2; 3; 4; 6; 9\}$.

Tương tự lập luận trên, $3$ và $6$ phải cùng một tập, giả sử là $\{3; 6; z\}$.

Tích là $18z \Rightarrow z = 2m^2$.

Trong các số còn lại $\{1; 2; 4; 9\}$, chỉ có $2$ có dạng $2m^2$. Suy ra $z = 2$.

Vậy tập thứ hai là $\{2; 3; 6\}$. Tích bằng $36 = 6^2$.

Tập thứ ba gồm các số còn lại $\{1; 4; 9\}$. Tích bằng $36 = 6^2$ (thỏa mãn).

Ta được cách chia thứ hai: $B = \{\{5; 8; 10\}, \{2; 3; 6\}, \{1; 4; 9\}\}$.

Vậy có tất cả $2$ cách chia $9$ số thành $3$ tập con không phân biệt thỏa mãn điều kiện. Với mỗi cách chia thành $3$ tập con, ta có:

$3!$ cách phân công $3$ tập này vào $3$ nhóm vị trí $(a_1,a_2,a_3)$, $(a_4,a_5,a_6)$ và $(a_7,a_8,a_9)$.

Trong mỗi nhóm vị trí, có $3!$ cách hoán vị $3$ chữ số. Có $3$ nhóm nên có $(3!)^3$ cách hoán vị.

Số $a_{10} = 7$ cố định có $1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, tổng số hoán vị $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:$2 \cdot 3! \cdot (3!)^3 \cdot 1 = 2 \cdot 6 \cdot 6^3 = 2592$ (hoán vị).

Đáp án: 2592

Đáp án cần điền là: 2592

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.