(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống). Cho các số thực dương a, b thỏa mãn

Câu hỏi số 982896:

Vận dụng

(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống). Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} + \log\sqrt{a} + \log\sqrt{b} = 100$ và $\sqrt{\log a},\sqrt{\log b},\log\sqrt{a},\log\sqrt{b}$ đều là các số nguyên dương. Giá trị của $\log(ab)$ bằng ....................

Đáp án:

Đáp án đúng là: 164

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:982896

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất cơ bản của lôgarit: $\log\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\log x$ và $\log(xy) = \log x + \log y$.

Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

Xác định điều kiện của ẩn phụ dựa trên giả thiết các biểu thức là số nguyên dương.

Đưa phương trình về dạng tổng hai bình phương và tìm các nghiệm nguyên thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết

Đặt $x = \sqrt{\log a}$ và $y = \sqrt{\log b}$.

Vì $\sqrt{\log a}$ và $\sqrt{\log b}$ là các số nguyên dương nên $x,y \in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Khi đó ta có $\log a = x^{2}$ và $\log b = y^{2}$.

Theo tính chất lôgarit, ta có: $\log\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\log a = \dfrac{x^{2}}{2}$ $\log\sqrt{b} = \dfrac{1}{2}\log b = \dfrac{y^{2}}{2}$

Theo giả thiết, $\log\sqrt{a}$ và $\log\sqrt{b}$ là các số nguyên dương nên $\dfrac{x^{2}}{2}$ và $\dfrac{y^{2}}{2}$ là các số nguyên dương.

Do đó, $x^{2}$ và $y^{2}$ phải là số chẵn, suy ra $x$ và $y$ phải là các số nguyên dương chẵn.

Thay các biểu thức trên vào phương trình $\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} + \log\sqrt{a} + \log\sqrt{b} = 100$, ta được:

$x + y + \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{y^{2}}{2} = 100$ $\left. \Leftrightarrow 2x + 2y + x^{2} + y^{2} = 200 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(x^{2} + 2x + 1) + (y^{2} + 2y + 1) = 202 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 202 \right.$.

Vì x, y là các số chẵn dương nên $x + 1$ và $y + 1$ là các số lẻ dương lớn hơn $1$.

Ta phân tích số 202 thành tổng của hai số chính phương.

Các bình phương của các số lẻ dương là: $1,9,25,49,81,121,169,\ldots$

Dễ dàng nhận thấy $202 = 81 + 121 = 9^{2} + 11^{2}$.

Do đó, ta có $\left\{ x + 1,y + 1 \right\} = \left\{ 9,11 \right\}$.

Suy ra $\left\{ x,y \right\} = \left\{ 8,10 \right\}$.

Cả hai giá trị này đều là số nguyên dương chẵn, thỏa mãn điều kiện.

Dù $x = 8,y = 10$ hay $x = 10,y = 8$, ta đều có tổng bình phương của chúng không đổi:

$x^{2} + y^{2} = 8^{2} + 10^{2} = 64 + 100 = 164$.

Ta cần tính giá trị của biểu thức $\log(ab)$.

Áp dụng tính chất lôgarit: $\log(ab) = \log a + \log b = x^{2} + y^{2} = 164$.

Đáp án cần điền là: 164

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.