Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc Giữa học kì 1 - Lớp 10, 11, 12 ↪ Thi thử Giữa HK1 - lớp 10, 11, 12
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho phương trình lượng giác $\sin^2 2x=\cos^2\left(3x-\dfrac{\pi }{8}\right)$

Câu hỏi số 983086:
Vận dụng

Cho phương trình lượng giác $\sin^2 2x=\cos^2\left(3x-\dfrac{\pi }{8}\right)$

Đúng Sai
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos (\pi +4x)$
b) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có $11$ nghiệm
c) $x=\dfrac{37\pi }{40}$ là một nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(-\pi ;\pi )$
d) Tổng các nghiệm trong $(-\pi ;\pi )$ bằng $\dfrac{7\pi }{9}$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:983086
Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha }{2}$, $\cos^2\alpha =\dfrac{1+\cos 2\alpha }{2}$.

Sử dụng công thức cung hơn kém $\pi$: $-\cos \alpha =\cos (\alpha +\pi )$.

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\cos u=\cos v$.

Biện luận tìm số nghiệm và tính tổng các nghiệm trên khoảng cho trước.

Giải chi tiết

Phương trình: $\sin^2 2x=\cos^2\left(3x-\dfrac{\pi }{8}\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1+\cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)}{2}$

$\Leftrightarrow 1-\cos 4x=1+\cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)=-\cos 4x$

$\Leftrightarrow \cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos (\pi +4x)$

Xét mệnh đề a: Phương trình tương đương với $\cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos (\pi +4x)$. Do đó a đúng.

Giải phương trình $\cos \left( 6x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos (\pi +4x)$ ta được:

$\left[ \begin{matrix} 6x-\dfrac{\pi }{4}=\pi +4x+k2\pi \\ 6x-\dfrac{\pi }{4}=-(\pi +4x)+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=\dfrac{5\pi }{4}+k2\pi \\ 10x=-\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{5\pi }{8}+k\pi \\ x=-\dfrac{3\pi }{40}+k\dfrac{\pi }{5} \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Xét mệnh đề b: Tìm các nghiệm trong khoảng $(-\pi ;\pi )$.

Họ thứ nhất $x=\dfrac{5\pi }{8}+k\pi$:

$-\pi <\dfrac{5\pi }{8}+k\pi <\pi \Leftrightarrow -1<\dfrac{5}{8}+k<1\Leftrightarrow -\dfrac{13}{8}<k<\dfrac{3}{8}$.

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{ -1;0 \right\}$. Có $2$ nghiệm là $-\dfrac{3\pi }{8}$ và $\dfrac{5\pi }{8}$.

Họ thứ hai $x=-\dfrac{3\pi }{40}+k\dfrac{\pi }{5}=\dfrac{(8k-3)\pi }{40}$:

$-\pi <\dfrac{(8k-3)\pi }{40}<\pi \Leftrightarrow -40<8k-3<40\Leftrightarrow -\dfrac{37}{8}<k<\dfrac{43}{8}\Leftrightarrow -4,625<k<5,375$.

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5 \right\}$. Có $10$ nghiệm.

(Dễ thấy hai họ nghiệm không có nghiệm trùng nhau do $\dfrac{5}{8}+m=\dfrac{8k-3}{40}\Leftrightarrow 25+40m=8k-3\Leftrightarrow 28=8k-40m$ là vô nghiệm vì vế trái lẻ vế phải chẵn sau khi chia cả 2 vế cho 4).

Vậy phương trình có tất cả $2+10=12$ nghiệm thuộc $(-\pi ;\pi )$. Do đó b sai.

Xét mệnh đề c: Với họ nghiệm $x=\dfrac{(8k-3)\pi }{40}$, nếu chọn $k=5$ (thỏa mãn $k$ thuộc tập vừa tìm được) thì ta có nghiệm $x=\dfrac{(8.5-3)\pi }{40}=\dfrac{37\pi }{40}$. Do đó c đúng.

Xét mệnh đề d: Tính tổng các nghiệm trong khoảng $(-\pi ;\pi )$.

Tổng các nghiệm của họ 1: $S_1=-\dfrac{3\pi }{8}+\dfrac{5\pi }{8}=\dfrac{2\pi }{8}=\dfrac{\pi }{4}$.

Tổng các nghiệm của họ 2: $S_2=\sum\limits_{k=-4}^{5}{\dfrac{(8k-3)\pi }{40}}=\dfrac{\pi }{40}\left( 8\sum\limits_{k=-4}^{5}{k}-30 \right)$

Ta có $\sum\limits_{k=-4}^{5}{k}=-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=5$.

Nên $S_2=\dfrac{\pi }{40}(8.5-30)=\dfrac{10\pi }{40}=\dfrac{\pi }{4}$.

Tổng tất cả các nghiệm: $S=S_1+S_2=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}$. Do đó d sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →