Phương trình $\sin 2x=\cos x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$?

Câu hỏi số 983089:

Vận dụng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983089

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$ để đưa phương trình về dạng tích.

Giải các phương trình lượng giác cơ bản và tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện $x\in (0;\pi )$.

Giải chi tiết

Ta có: $\sin 2x=\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos x=0 \\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right.$

Trường hợp 1: $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Vì $x\in (0;\pi )$ nên $0<\dfrac{\pi }{2}+k\pi <\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<k<\dfrac{1}{2}$.

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=0$, suy ra $x=\dfrac{\pi }{2}$.

Trường hợp 2: $\sin x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x=\sin \dfrac{\pi }{6}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \end{matrix} \right.$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Vì $x\in (0;\pi )$ nên:

Với họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi$, ta có $0<\dfrac{\pi }{6}+k2\pi <\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{12}<k<\dfrac{5}{12}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{6}$.

Với họ nghiệm $x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi$, ta có $0<\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi <\pi \Leftrightarrow -\dfrac{5}{12}<k<\dfrac{1}{12}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\dfrac{5\pi }{6}$.

Vậy phương trình có $3$ nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$ là $\dfrac{\pi }{6}, \dfrac{\pi }{2}, \dfrac{5\pi }{6}$.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.