Các giá trị của $m$ để phương trình $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\sin^2 x$ có đúng 2 nghiệm $x\in

Câu hỏi số 983091:

Vận dụng

Các giá trị của $m$ để phương trình $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\sin^2 x$ có đúng 2 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right]$ là $(a;b]$. Tính $S=a+b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983091

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$ để biến đổi phương trình về dạng tích.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác trên đoạn cho trước để biện luận số nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\sin^2 x$

$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m(1-\cos^2 x)$

$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)-m(1-\cos x)(1+\cos x)=0$

$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x-m+m\cos x)=0$

$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos x=-1 \\ \cos 2x=m \end{matrix} \right.$

Xét trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right]$, hàm số $\cos x$ nhận giá trị trong đoạn $\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$. Do đó phương trình $\cos x=-1$ vô nghiệm trên đoạn này.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $m$ để phương trình $\cos 2x=m$ có đúng $2$ nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right]$.

Khi $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right]$ thì $2x\in \left[ 0;\dfrac{4\pi }{3} \right]$.

Sự biến thiên của $y=\cos 2x$:

Khi $2x$ tăng từ $0$ đến $\pi$, $\cos 2x$ giảm liên tục từ $1$ xuống $-1$.

Khi $2x$ tăng từ $\pi$ đến $\dfrac{4\pi }{3}$, $\cos 2x$ tăng liên tục từ $-1$ lên $-\dfrac{1}{2}$ (do $\cos \dfrac{4\pi }{3}=-\dfrac{1}{2}$).

Dựa vào sự biến thiên, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos 2x$ tại đúng $2$ điểm phân biệt khi và chỉ khi $-1<m\le -\dfrac{1}{2}$.

Tập các giá trị của $m$ là $\left( -1;-\dfrac{1}{2} \right]$.

Suy ra $a=-1$ và $b=-\dfrac{1}{2}$.

Vậy $S=a+b=-1+\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{3}{2}$.

Đáp án cần điền là: -1,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.