Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + 2m = 0$ ($m$ là tham số) và

Câu hỏi số 983462:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + 2m = 0$ ($m$ là tham số) và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 4 + 2t} \\ {y = 3 + t} \\ {z = 3 + 2t} \end{array} \right.$. Biết đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $AB = 8$. Giá trị của $m$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: -6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983462

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa về phương trình mặt cầu, để $(S)$ là mặt cầu thì bán kính phải lớn hơn 0.

Bước 2: Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta$, ta tìm được $\overset{\rightarrow}{IH}$ theo tham số $t.$

Bước 3: $\overset{\rightarrow}{IH} \cdot \overset{\rightarrow}{u} = 0$ suy ra $\overset{\rightarrow}{IH},$ xét $\Delta IHB$ vuông tại $H$ có $IH^{2} + HB^{2} = IB^{2}.$

Giải chi tiết

$\begin{array}{l} {(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + 2m = 0} \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x + 2} \right)^{2} + \left( {y - 3} \right)^{2} + z^{2} = 13 - 2m \right. \end{array}$

Để $(S)$ là mặt cầu thì $\left. 13 - 2m > 0\Leftrightarrow m < \dfrac{13}{2} \right.$.

Khi đó mặt cầu $(S)$ có tâm $I\ \left( {- 2;\ 3;\ 0} \right),$ bán kính $R = \sqrt{13 - 2m}.$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\left. \Delta\Rightarrow H\ \left( {4 + 2t;\ 3 + t;\ 3 + 2t} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{IH} = \left( {2t + 6;\ t;\ 2t + 3} \right). \right.$

Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{IH} \cdot \overset{\rightarrow}{u} = 0\Leftrightarrow 2\left( {2t + 6} \right) + t + 2\left( {2t + 3} \right) = 0\Leftrightarrow t = - 2. \right.$

Suy ra $\left. \overset{\rightarrow}{IH} = \left( {2;\ - 2;\ - 1} \right)\Rightarrow IH = 3. \right.$

Xét $\Delta IHB$ vuông tại $H$ có $\left. IH^{2} + HB^{2} = IB^{2}\Leftrightarrow 9 + 16 = 13 - 2m\Leftrightarrow m = - 6. \right.$

Đáp án cần điền là: -6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.