Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $\lbrack - 10;10\rbrack$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại

Câu hỏi số 983468:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $\lbrack - 10;10\rbrack$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại số thực $b \geq a$ thỏa mãn $4^{a} = 2^{b} + b$ và đoạn $\left\lbrack {a;\ b} \right\rbrack$ chứa không quá 5 số nguyên?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 11

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983468

Phương pháp giải

Bước 1: Xét hàm số $\left. f(b) = 2^{b} + b - 4^{a}\Rightarrow f'(b) = 2^{b}\ln 2 + 1 > 0 \right.$

Bước 2 : Chứng minh $f(a) \leq 0$ và để tồn tại số thực $b$ và đoạn $\left\lbrack {a;\ b} \right\rbrack$ không chứa quá 5 số nguyên$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {f(a) \leq 0\ \ \ \ \ } \\ {f\left( {a + 5} \right) > 0} \end{matrix} \right.. \right.$

Giải chi tiết

Ta có $\left. 4^{a} = 2^{b} + b\Leftrightarrow 2^{b} + b - 4^{a} = 0 \right.$

Xét hàm số $\left. f(b) = 2^{b} + b - 4^{a}\Rightarrow f'(b) = 2^{b}\ln 2 + 1 > 0 \right.$

Nên hàm số $f(b)$ luôn đồng biến trên ${\mathbb{R}}.$

Ta có $4^{a} = 2^{b} + b \geq 2^{a} + a$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 2^{a} + a - 4^{a} \leq 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow f(a) \leq 0 \right. \end{array}$

Nên để tồn tại số thực $b$ và đoạn $\left\lbrack {a;\ b} \right\rbrack$ không chứa quá 5 số nguyên:

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {f(a) \leq 0\ \ \ \ \ } \\ {f\left( {a + 5} \right) > 0} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {2^{a} + a - 4^{a} \leq 0\ \ \ \ \ \ \ } \\ {2^{a + 5} + a + 5 - 4^{a} > 0} \end{matrix}\Rightarrow a \in \left\{ {- 5;\ - 4;\ \ldots;\ 4;\ 5} \right\}\text{.} \right. \right. \right.$

Vậy có 11 giá trị.

Đáp án cần điền là: 11

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.