Biểu thức $A = \dfrac{x^{2} + 5x + 5}{x^{2} + 4x + 4}$ có giá trị lớn nhất là bao

Câu hỏi số 983568:

Vận dụng

Biểu thức $A = \dfrac{x^{2} + 5x + 5}{x^{2} + 4x + 4}$ có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983568

Phương pháp giải

Biến đổi tử thức theo mẫu thức ${(x + 2)}^{2}$, dùng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \neq - 2$.

Ta có:

$A = \dfrac{(x^{2} + 4x + 4) + (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} = 1 + \dfrac{x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Đặt $t = x + 2$ ($t \neq 0$), suy ra $x = t - 2$. Khi đó:

$A = 1 + \dfrac{t - 2 + 1}{t^{2}} = 1 + \dfrac{t - 1}{t^{2}} = 1 + \dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{t^{2}}$

Đặt $y = \dfrac{1}{t}$, biểu thức trở thành:

$A = - y^{2} + y + 1 = - \left( {y^{2} - y + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{5}{4} = - \left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \dfrac{5}{4}$

Vì $- \left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} \leq 0$ với mọi y, nên $A \leq \dfrac{5}{4} = 1,25$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. y = \dfrac{1}{2}\Rightarrow t = 2\Rightarrow x = 0 \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1,25.

Đáp án cần điền là: 1,25

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link