Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ($AC < AB$), gọi M là trung điểm của BC. Kẻ $ME \perp AB$ tại E, kẻ
Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ($AC < AB$), gọi M là trung điểm của BC. Kẻ $ME \perp AB$ tại E, kẻ $MF \perp AC$ tại F.
a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm H trên tia MF sao cho $FM = FH$. Chứng minh rằng tứ giác AHFE là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của EH và AF, G là giao điểm của EF và MI; J là trung điểm của ME. Chứng minh rằng 3 đường thẳng MI, EF, HJ đồng quy tại G và $MG = \dfrac{1}{3}EH$.
Quảng cáo
Phần a dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Phần b chứng minh một cặp cạnh đối song song và bằng nhau $AE \parallel FH$ và $AE = FH$ để suy ra tứ giác là hình bình hành.
Phần c chứng minh $\Delta MEH$ là tam giác vuông tại M, chỉ ra $G$ là trọng tâm $\Delta MEH$, sau đó áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để tính đoạn $MI$, từ đó chứng minh $MG = \dfrac{1}{3}EH$.
a) Tứ giác AEMF có $\widehat{EAF} = 90^\circ$ do $\Delta ABC$ vuông tại A, $\widehat{AEM} = 90^\circ$ do $ME \perp AB$, $\widehat{AFM} = 90^\circ$ do $MF \perp AC$.
Suy ra tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Vì AEMF là hình chữ nhật nên $AE \parallel MF$ và $AE = MF$.
Do H nằm trên tia MF nên $FH$ cũng nằm trên đường thẳng $MF$, suy ra $AE \parallel FH$.
Theo giả thiết $FH = FM$, mà $AE = FM$ nên $AE = FH$.
Xét tứ giác AHFE có $AE \parallel FH$ và $AE = FH$.
Vậy tứ giác AHFE là hình bình hành.
c) Vì AEMF là hình chữ nhật nên $\widehat{EMF} = 90^\circ$ hay $EM \perp MH$, do đó $\Delta MEH$ là tam giác vuông tại M.
Vì AHFE là hình bình hành, hai đường chéo AF và EH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là giao điểm của EH và AF, suy ra I là trung điểm của EH.
Do F là trung điểm của MH vì $FM = FH$, nên EF là đường trung tuyến của $\Delta MEH$.
Trong $\Delta MEH$, MI là đường trung tuyến do I là trung điểm EH và EF là đường trung tuyến.
MI và EF cắt nhau tại G, suy ra G là trọng tâm của $\Delta MEH$.
Lại có J là trung điểm của ME, nên HJ là đường trung tuyến thứ ba của $\Delta MEH$, do đó HJ phải đi qua trọng tâm G.
Vậy 3 đường thẳng MI, EF, HJ đồng quy tại G.
Mặt khác, trong $\Delta MEH$ vuông tại M, đường trung tuyến MI ứng với cạnh huyền EH nên $MI = \dfrac{1}{2} EH$.
Vì G là trọng tâm $\Delta MEH$ nên $MG = \dfrac{2}{3} MI$.
Thay $MI = \dfrac{1}{2} EH$ vào, ta được $MG = \dfrac{2}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} EH \right) = \dfrac{1}{3} EH$.
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
