Một hồ thủy điện có 9 đập tràn, mỗi đập có thể xả nước với tốc độ tối đa là

Câu hỏi số 984873:

Vận dụng

Một hồ thủy điện có 9 đập tràn, mỗi đập có thể xả nước với tốc độ tối đa là $500(\text{m}^{3}/\text{s})$. Do mưa liên tục nên mực nước trong hồ lên cao đến mức báo động và phải xả lũ khẩn cấp. Khi có lệnh xả lũ, người ta mở trước 5 đập tràn và sau đó 5 phút mở tiếp 4 đập tràn còn lại. Biết rằng tốc độ lưu lượng nước qua mỗi đập tại thời điểm t (giây) là $v(t) = k \cdot t(\text{m}^{3}/\text{s})$ cho đến khi đạt tốc độ tối đa, trong đó t là thời gian tính từ lúc đập đó được mở và k là một hằng số. Giả sử sau 30 phút từ khi có lệnh bắt đầu mở đập xả lũ, lưu lượng nước qua mỗi đập đều ở tốc độ tối đa và hồ thủy điện đã xả được $7387500\text{m}^{3}$ nước. Khi đó, hằng số k bằng .........

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:984873

Phương pháp giải

Sử dụng ứng dụng của tích phân để tính lượng nước xả ra.

Lượng nước xả ra bằng tích phân của hàm tốc độ xả nước theo thời gian.

Chia thời gian xả nước làm hai giai đoạn: giai đoạn tốc độ tăng dần và giai đoạn tốc độ đạt tối đa để thiết lập phương trình tìm k.

Giải chi tiết

Đổi thời gian: 30 phút = 1800 s. 5 phút = 300 s.

Gọi thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc mở đập để tốc độ xả nước đạt tối đa là $t_{0}$.

Ta có: $\left. v(t_{0}) = k \cdot t_{0} = 500\Rightarrow t_{0} = \dfrac{500}{k} \right.$.

Theo giả thiết, sau 30 phút (1800 s), lưu lượng nước qua mỗi đập đều đạt tốc độ tối đa, tức là cả 9 đập đều đã đạt tốc độ tối đa trong khoảng thời gian này.

4 đập mở sau 5 phút (300 s) cũng đã đạt tốc độ tối đa trong 1800 - 300 = 1500 s.

Nên $\left. t_{0} = \dfrac{500}{k} \leq 1500\Rightarrow k \geq \dfrac{1}{3} \right.$.

Lượng nước 1 đập xả ra trong t giây đầu tiên (với $t \geq t_{0}$) là tổng lượng nước xả trong thời gian tốc độ tăng và lượng nước xả khi đạt tốc độ tối đa:

$V(t) = {\int_{0}^{t_{0}}k}tdt + {\int_{t_{0}}^{t}5}00dt = \left\lbrack \dfrac{kt^{2}}{2} \right\rbrack_{0}^{t_{0}} + \left\lbrack {500t} \right\rbrack_{t_{0}}^{t} = \dfrac{kt_{0}^{2}}{2} + 500(t - t_{0})$

Thay $t_{0} = \dfrac{500}{k}$ vào:

$V(t) = \dfrac{k}{2} \cdot \left( \dfrac{500}{k} \right)^{2} + 500\left( {t - \dfrac{500}{k}} \right) = \dfrac{125000}{k} + 500t - \dfrac{250000}{k} = 500t - \dfrac{125000}{k}$.

Tổng lượng nước 9 đập đã xả sau 30 phút (1800 s) bao gồm:

Lượng nước 5 đập mở đầu tiên xả trong 1800 s: $5 \cdot V(1800)$.

Lượng nước 4 đập mở sau xả trong $1800 - 300 = 1500$ s: $4 \cdot V(1500)$.

Ta có phương trình tổng lượng nước đã xả: $5 \cdot V(1800) + 4 \cdot V(1500) = 7387500$

$5\left( {500 \cdot 1800 - \dfrac{125000}{k}} \right) + 4\left( {500 \cdot 1500 - \dfrac{125000}{k}} \right) = 7387500$

$\left. \Leftrightarrow 4500000 - \dfrac{625000}{k} + 3000000 - \dfrac{500000}{k} = 7387500 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 7500000 - \dfrac{1125000}{k} = 7387500 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1125000}{k} = 112500 \right.$

$\left. \Leftrightarrow k = \dfrac{1125000}{112500} = 10 \right.$.

Giá trị $k = 10$ thỏa mãn điều kiện $k \geq \dfrac{1}{3}$.

Vậy hằng số $k = 10$.

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.