Cho dãy số $\left( u_{n} \right):\ u_{1} = 2025$ và $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n} + \dfrac{2025}{u_{n}}}

Câu hỏi số 985131:

Vận dụng

Cho dãy số $\left( u_{n} \right):\ u_{1} = 2025$ và $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n} + \dfrac{2025}{u_{n}}} \right).$ Dãy $\left( u_{n} \right)$ là một

A. dãy số không bị chặn dưới.

B. dãy số bị chặn.

C. dãy tăng.

D. dãy số không tăng, nhưng cũng không giảm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985131

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm chặn dưới của dãy.

Xét hiệu của hai số hạng kề nhau của dãy (số hạng sau trừ đi số hạng trước) và xét dấu của hiệu này, từ đó suy ra tính tăng/giảm của của dãy.

Dãy bị chặn khi và chỉ khi bị chặn trên và bị chặn dưới.

Giải chi tiết

Dãy số $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới do $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n} + \dfrac{2025}{u_{n}}} \right) \geq \sqrt{u_{n} \cdot \dfrac{2025}{u_{n}}} = \sqrt{2025} = 45.$

$u_{n + 1} - u_{n} = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n} + \dfrac{2025}{u_{n}}} \right) - u_{n} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2025}{u_{n}} - u_{n}} \right) = \dfrac{2025 - u_{n}^{2}}{2u_{n}}.$

Vì $u_{n} \geq 45$ nên $u_{n}^{2} \geq 2025$$\left. \Rightarrow 2025 - u_{n}^{2} \leq 0 \right.$$\left. \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} \leq 0\ \left( {2u_{n} > 0} \right). \right.$

Vậy dãy $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm (với $n \geq 2$).

Do đó dãy số $\left( u_{n} \right)$ có $45 \leq u_{n} \leq u_{1} = 2025.$

Dãy đã cho bị chặn (chặn dưới bởi 45, chặn trên bởi 2025).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.