Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị: mét).

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = - x^{2} + 4$ và trục hoành Ox. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng d đi qua điểm $M\ \left( {0;\ 1} \right),$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt A và B. Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung AB được dùng để trồng hoa hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung AB) được dùng để trải thảm cỏ.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Khoảng cách giữa hai điểm A và B theo biểu diễn theo hệ số góc $m$ của đường thẳng AB là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:985144
Phương pháp giải

Lập phương trình đường thẳng $d$ có hệ số góc $m,$ xét phương trình hoành độ giao điểm.

Sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2} + \left( {y_{2} - y_{1}} \right)^{2}}$ và sử dụng định lí Viete để chỉ ra mối liên hệ giữa $x_{1},\ x_{2}$ và $m,$ từ đó biểu diễn độ dài theo yêu cầu.

Giải chi tiết

Parabol $(P)$: $y = - x^{2} + 4$ cắt trục hoành tại $x = - 2$ và $x = 2.$

Đường thẳng $d$ (dải đèn LED) đi qua $M\ \left( {0;\ 1} \right)$ với hệ số góc $m$ nên có phương trình là: $y = mx + 1.$

Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình $\left. - x^{2} + 4 = mx + 1\Leftrightarrow x^{2} + mx - 3 = 0. \right.$

Gọi $x_{1},\ x_{2}$ là các nghiệm.

Theo Viete: $x_{1} + x_{2} = - m$ và $x_{1} \cdot x_{2} = - 3.$

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

$AB = \sqrt{\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2} + \left( {y_{2} - y_{1}} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2} + \left( {mx_{2} - mx_{1}} \right)^{2}}$ (lưu ý: tọa độ A, B thỏa mãn $y = mx + 1$ do chúng nằm trên đường thẳng AB).

Ta có: $\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 4x_{1} \cdot x_{2} = m^{2} + 12.$

Suy ra $AB = \sqrt{\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2} + m^{2}\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {m^{2} + 1} \right)\left( {x_{2} - x_{1}} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {m^{2} + 1} \right)\left( {m^{2} + 12} \right)}.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Khi diện tích trồng hoa hồng gấp đôi diện tích thảm cỏ, chiều dài của dải đèn LED (làm tròn đến hàng phần trăm) là

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:985145
Phương pháp giải

Tính diện tích tổng của bồn hoa bằng tích phân với hai cận là hai nghiệm: $S = {\int_{- 2}^{2}{\left( {- x^{2} + 4} \right)dx}}$.

Sử dụng công thức tính diện tích $S_{HH} = {\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack {\left( {- x^{2} + 4} \right) - \left( {mx + 1} \right)} \right\rbrack dx}}$ kết hợp với định lí Viete, biểu diễn $S_{HH} = {\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack {\left( {- x^{2} + 4} \right) - \left( {mx + 1} \right)} \right\rbrack dx}}$ theo m.

Sau đó xét $S_{HH} = 2S_{TC}$ (nghĩa là $S_{HH} = \dfrac{2}{3}S$ với $S$ là tổng diện tích của bồn hoa.

Giải chi tiết

Diện tích tổng của bồn hoa: $S = \int_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \dfrac{{32}}{3}{\rm{ }}\left( {{\mkern 1mu} {{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích trồng hoa hồng $S_{HH}$ là phần nằm trên dây cung AB.

Theo công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng:

$S_{HH} = {\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack {\left( {- x^{2} + 4} \right) - \left( {mx + 1} \right)} \right\rbrack dx}}$

$= {\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( {- x^{2} - mx + 3} \right)dx}} = \left. \left( {- \dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{mx^{2}}{2} + 3x} \right) \right|_{x_{1}}^{x_{2}}$

$= - \dfrac{x_{2}^{3} - x_{1}^{3}}{3} - \dfrac{m\left( {x_{2}^{2} - x_{1}^{2}} \right)}{2} + 3\left( {x_{2} - x_{1}} \right)$

$= \left( {x_{2} - x_{1}} \right)\left\lbrack {- \dfrac{x_{2}^{2} + x_{2} \cdot x_{1} + x_{1}^{2}}{3} - \dfrac{m\left( {x_{2} + x_{1}} \right)}{2} + 3} \right\rbrack$

$= \left( {x_{2} - x_{1}} \right)\left\lbrack {- \dfrac{\left( {x_{2} + x_{1}} \right)^{2} - x_{2} \cdot x_{1}}{3} - \dfrac{m\left( {x_{2} + x_{1}} \right)}{2} + 3} \right\rbrack$

$= \sqrt{m^{2} + 12}\left\lbrack {- \dfrac{m^{2} - \left( {- 3} \right)}{3} - \dfrac{m \cdot \left( {- m} \right)}{2} + 3} \right\rbrack$

$= \sqrt{m^{2} + 12} \cdot \dfrac{m^{2} + 12}{6} = \dfrac{\left( {m^{2} + 12} \right)^{3/2}}{6}.$

Điều kiện bài toán: $\left. S_{HH} = 2S_{TC}\Rightarrow S_{HH} = \dfrac{2}{3}S = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{32}{3} = \dfrac{64}{9}. \right.$

Giải tìm $m$: $\dfrac{\left( {m^{2} + 12} \right)^{3/2}}{6} = \dfrac{64}{9}$

$\left. \Leftrightarrow\left( {m^{2} + 12} \right)^{3/2} = \dfrac{128}{3} \right.$

$\left. \Rightarrow m^{2} + 12 \approx 12,21\Rightarrow m^{2} \approx 0,21 \right.$

$\left. \Rightarrow AB = \sqrt{\left( {m^{2} + 1} \right)\left( {m^{2} + 12} \right)} \approx \sqrt{\left( {0,21 + 1} \right)\left( {0,21 + 12} \right)} \approx 3,84\ \left( \text{m} \right). \right.$

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Diện tích trồng hoa hồng đạt giá trị nhỏ nhất khi độ dài dây đèn LED bằng

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:985146
Phương pháp giải

Tìm giá trị nhỏ nhất cho diện tích trồng hoa hồng dựa vào biểu thức đã tìm, từ đó suy ra giá trị tương ứng của m và độ dài của $AB$ (dây đèn).

Giải chi tiết

Diện tích trồng hoa hồng là $S_{HH} = \dfrac{\left( {m^{2} + 12} \right)^{3/2}}{6}.$

Ta có $\left. m^{2} \geq 0\Leftrightarrow\dfrac{\left( {m^{2} + 12} \right)^{3/2}}{6} \geq \dfrac{12^{3/2}}{6} = \dfrac{12\sqrt{12}}{6} = 4\sqrt{3}. \right.$

Dấu bằng (giá trị nhỏ nhất) xảy ra khi $m = 0$ (dây đèn nằm ngang).

Khi đó $AB = \sqrt{\left( {0 + 1} \right)\left( {0 + 12} \right)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \left( \text{m} \right).$

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →