Giá trị $n$ thỏa mãn phương trình $A_{n}^{2} - C_{n + 1}^{n - 1} = 4n + 6$ thuộc khoảng

Câu hỏi số 985153:

Vận dụng

A. $\left( {- 2;\ 3} \right).$

B. $\left( {\dfrac{5}{2};\ 5} \right).$

C. $\left( {4;\ 10} \right).$

D. $\left( {2;\ 13} \right).$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985153

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $A_{n}^{k} = \dfrac{n!}{\left( {n - k} \right)!}$ và $C_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!\left( {n - k} \right)!}.$ Từ đó giải phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: $n \geq 2,n \in {\mathbb{N}}.$

Áp dụng công thức:

$A_{n}^{2} = \dfrac{n!}{\left( {n - 2} \right)!} = \dfrac{n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot \ldots}{\left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot \ldots} = n\left( {n - 1} \right).$

$C_{n + 1}^{n - 1} = \dfrac{\left( {n + 1} \right)!}{\left( {n - 1} \right)!\left\lbrack {\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)} \right\rbrack!} = \dfrac{\left( {n + 1} \right)!}{\left( {n - 1} \right)!2!}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left( {n + 1} \right) \cdot n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \ldots}{\left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \ldots} = \dfrac{1}{2}\left( {n + 1} \right)n$

Phương trình trở thành: $n\left( {n - 1} \right) - \dfrac{n\left( {n + 1} \right)}{2} = 4n + 6.$

Quy đồng mẫu số: $\left. 2n^{2} - 2n - n^{2} - n = 8n + 12\Leftrightarrow n^{2} - 11n - 12 = 0. \right.$

Giải phương trình bậc hai: $n = 12$ hoặc $n = - 1$ (loại). Vậy $n = 12 \in \left( {2;\ 13} \right).$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.