Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 2} \right)^{2} =

Câu hỏi số 985154:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 2} \right)^{2} = 25$ và điểm $M\left( {4;2} \right).$ Một đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt A, B. Biết rằng tam giác IAB có diện tích đạt giá trị lớn nhất, khoảng cách từ I đến đường thẳng $d$ bằng

A. $\dfrac{5}{\sqrt{2}}.$

B. $\dfrac{5}{2}.$

C. $2\sqrt{2}.$

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985154

Phương pháp giải

Diện tích tam giác IAB được tính bằng công thức $S_{IAB} = \dfrac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin\widehat{AIB},$ từ đó đánh giá được giá trị lớn nhất $\left( {\sin\widehat{AIB} \leq 1} \right).$

Lưu ý dấu bằng xảy ra khi tam giác IAB vuông tại I.

Kiểm tra vị trí tương đối của M với đường tròn $(C),$ suy ra khoảng cách từ I đến đường thẳng $d$ bằng chiều cao của tam giác vuông cân IAB.

Giải chi tiết

Đường tròn $(C)$ có tâm $I\ \left( {1;\ - 2} \right)$ và bán kính $R = 5.$

Diện tích tam giác IAB được tính như sau:

$S_{IAB} = \dfrac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin\widehat{AIB} = \dfrac{1}{2}R^{2} \cdot \sin\widehat{AIB} \leq \dfrac{1}{2}R^{2}\ \left( {\sin\widehat{AIB} \leq 1} \right).$

Vì $R = 5$ không đổi, nên $S_{IAB}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin\widehat{AIB} = 1,$ tức là $\Delta IAB$ vuông tại I.

Ta có $IM = \sqrt{\left( {4 - 1} \right)^{2} + \left( {2 - \left( {- 2} \right)} \right)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5.$

Vì $IM = R = 5,$ nên điểm $M$ nằm trên đường tròn. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt đường tròn tại A, B thì một trong hai điểm $A$ hoặc $B$ phải trùng với M. Khoảng cách từ tâm đến một dây cung AB luôn phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính.

Suy ra IH là đường cao của tam giác vuông cân IAB.

Ta có $IH = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{5^{2} + 5^{2}}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{\sqrt{2}}.$ Ta thấy $IH = \dfrac{5}{\sqrt{2}} \approx 3,53 < 5,$ nên hoàn toàn thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.