Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = 0}

Câu hỏi số 985158:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = 0} \\ {z = 4} \end{array} \right.$ và điểm $A\left( {0;\ 6;\ 4} \right).$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng $(P).$ Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến điểm H là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 8

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985158

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập hợp điểm $H$: Vì $(P)$ luôn chứa đường thẳng $d$ và $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(P),$ nên $H$ sẽ nằm trên một đường tròn cố định hoặc $AH$ luôn vuông góc với một đường thẳng cố định.

Bước 2: Sử dụng tính chất hình chiếu: $H$ luôn thuộc mặt cầu đường kính AK (vì K là hình chiếu của $A$ lên $d$) hoặc sử dụng bất đẳng thức tam giác $OH \leq OI + R.$

Bước 3: Tính khoảng cách OH lớn nhất.

Giải chi tiết

Bước 1: Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua $M\ \left( {0;\ 0;\ 4} \right)$ và có VTCP $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {1;\ 0;\ 0} \right).$ Gọi $K$ là hình chiếu của $A\ \left( {0;\ 6;\ 4} \right)$ lên $d$. Vì $d$ nằm trong mặt phẳng $z = 4$ và $y = 0$, tọa độ $K$ có dạng $\left( {x_{K};\ 0;\ 4} \right).$$\overset{\rightarrow}{AK} = \left( {x_{K} - 0;\ 0 - 6;\ 4 - 4} \right) = \left( {x_{K};\ - 6;\ 0} \right).$

Vì $\left. AK\bot d\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AK} \cdot \overset{\rightarrow}{u} = 0\Rightarrow x_{K} \cdot 1 = 0\Rightarrow x_{K} = 0. \right.$

Vậy $K\ \left( {0;\ 0;\ 4} \right).$

Lưu ý rằng $K$ chính là hình chiếu của $A$ lên trục Oz nếu dịch chuyển, nhưng ở đây $K$ nằm trên $d.$

Bước 2: Xác định quỹ đạo của $H.$

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d,$ nên $K \in (P).$

Vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left. (P)\Rightarrow AH\bot(P). \right.$

Mà $\left. K \in (P)\Rightarrow AH\bot HK\Rightarrow\Delta AHK \right.$ vuông tại $H.$

Do đó, $H$ luôn nhìn đoạn AK dưới một góc $90^{\circ}.$

Tập hợp $H$ là đường tròn đường kính AK trong mặt phẳng vuông góc với $d.$

Bước 3: Tính khoảng cách OH lớn nhất.

Ta có tọa độ $O\ \left( {0;\ 0;\,\ 0} \right),\ K\ \left( {0;\ 0;\ 4} \right),\ A\ \left( {0;\ 6;\ 4} \right).$

Xét tam giác OHK: $OH \leq OK + KH$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Trong đó:$OK = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = 4.$

KH là dây cung của đường tròn đường kính AK. Độ dài KH lớn nhất khi $KH = AK.$

$AK = \sqrt{\left( {0 - 0} \right)^{2} + \left( {0 - 6} \right)^{2} + \left( {4 - 4} \right)^{2}} = \sqrt{\left( {- 6} \right)^{2}} = 6.$

Tuy nhiên, ta cần xét vị trí tương đối trong không gian: $O,\ K,\ A$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ (do $x = 0$).

H di động trên đường tròn đường kính AK trong mặt phẳng $x = 0$ $\left( {H \in \left( {OAK} \right)} \right)$:

$O\left( {0;0;\, 0} \right),\ K\left( {0;0;4} \right),\ A\left( {0;6;4} \right)$

H nằm trên đường tròn tâm $I\left( {0;3;4} \right)$ (trung điểm AK), bán kính $R = \dfrac{AK}{2} = 3.$

Khoảng cách $OH_{max} = OI + R.$

Ta có $OI = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5.$

Vậy $OH_{max} = 5 + 3 = 8.$

Đáp án cần điền là: 8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.