Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng

Câu hỏi số 986162:

Vận dụng

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ với $a, b, c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ ($0 \le x \le 9, x \in \mathbb{N}$) là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt $19$ điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là $3$ điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:986162

Phương pháp giải

Sử dụng các dữ kiện bài toán để lập hệ phương trình tìm các hệ số $a, b, c$ của hàm số $f(x)$.

Tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm: $f(1) = 19$.

Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất là 3 điểm, từ tháng thứ ba trở đi điểm tăng lên: hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ với giá trị cực tiểu là $3$. Suy ra $f'(3) = 0$ và $f(3) = 3$.

Giải hệ phương trình tìm $a, b, c$, từ đó xác định hàm số $f(x)$.

Tính điểm ở tháng thứ sáu: tính $f(6)$.

Giải chi tiết

Ta có hàm số $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.

Theo đề bài:

Tháng đầu tiên học sinh đạt $19$ điểm, tức là $f(1) = 19$.

Suy ra $1^3 + a.1^2 + b.1 + c = 19 \Leftrightarrow a + b + c = 18$ (1)

Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất là 3 điểm, kể từ tháng thứ ba trở đi điểm tăng lên.

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ với giá trị cực tiểu là $3$.

Suy ra:

$\left. f'(3) = 0\Leftrightarrow 3.3^{2} + 2a.3 + b = 0\Leftrightarrow 6a + b = - 27 \right.$ (2)

$\left. f(3) = 3\Leftrightarrow 3^{3} + a.3^{2} + b.3 + c = 3\Leftrightarrow 9a + 3b + c = - 24 \right.$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a + b + c = 18} \\ {6a + b = - 27} \\ {9a + 3b + c = - 24} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - 3} \\ {b = - 9} \\ {c = 30} \end{array} \right. \right.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 30$.

Ta kiểm tra lại điều kiện cực tiểu: $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9$.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$ (loại vì $x \geq 0$) hoặc $x = 3$ (thỏa mãn).

Qua $x = 3$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 3$ là điểm cực tiểu, thỏa mãn điều kiện bài toán.

Điểm của học sinh ở tháng thứ sáu là $f(6)$.

Ta có $f(6) = 6^3 - 3.6^2 - 9.6 + 30 = 216 - 108 - 54 + 30 = 84$.

Đáp án cần điền là: 84

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.