Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, $SA = 2a$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD =

Câu hỏi số 986165:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, $SA = 2a$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD = a\sqrt{2}$. Gọi $I$ là trung điểm của $SD$, tính $\cos(\vec{AI}, \vec{SC})$ (Làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:986165

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A$ là gốc tọa độ.

Xác định tọa độ các điểm $A, S, C, D, I$.

Tính tọa độ các vectơ $\vec{AI}, \vec{SC}$.

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \cdot \vert{}\vec{v}\vert{}}$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ với $A(0; 0; 0)$, tia $AB$ thuộc trục $Ox$, tia $AD$ thuộc trục $Oy$, tia $AS$ thuộc trục $Oz$.

Ta có: $A(0; 0; 0)$, $B(a; 0; 0)$, $D(0; a\sqrt{2}; 0)$, $S(0; 0; 2a)$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\vec{BC} = \vec{AD} = (0; a\sqrt{2}; 0) \Rightarrow C(a; a\sqrt{2}; 0)$.

$I$ là trung điểm của $SD$ nên tọa độ của $I$ là: $I(0; \dfrac{a\sqrt{2}}{2}; a)$.

Ta có: $\vec{AI} = (0; \dfrac{a\sqrt{2}}{2}; a)$, $\vec{SC} = (a; a\sqrt{2}; -2a)$.

Tích vô hướng: $\vec{AI} \cdot \vec{SC} = 0 \cdot a + \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2} + a \cdot (-2a) = a^2 - 2a^2 = -a^2$.

Độ dài các vectơ:

$\vert{}\vec{AI}\vert{} = \sqrt{0^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

$\vert{}\vec{SC}\vert{} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2 + 4a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}$.

Cosin góc giữa hai vectơ:

$\cos(\vec{AI}, \vec{SC}) = \dfrac{\vec{AI} \cdot \vec{SC}}{\vert{}\vec{AI}\vert{} \cdot \vert{}\vec{SC}\vert{}} = \dfrac{-a^2}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot a\sqrt{7}} = \dfrac{-2}{\sqrt{42}} \approx -0,3$.

Đáp án cần điền là: -0,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.