Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x-1}{x}$ và $B = \dfrac{2x-4}{x^2-1} - \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{x}{x-1}$ với $x

Câu hỏi số 987259:

Vận dụng

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x-1}{x}$ và $B = \dfrac{2x-4}{x^2-1} - \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{x}{x-1}$ với $x \neq \pm 1; x \neq 0$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 1,5$

b) Chứng tỏ rằng $B = \dfrac{x}{x+1}$

c) Tìm số nguyên x lớn nhất để biểu thức $P = A.B$ nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987259

Phương pháp giải

a) Kiểm tra điều kiện xác định của $x = 1,5$, sau đó thay vào biểu thức A để tính giá trị.

b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung là $(x - 1)(x + 1)$, quy đồng mẫu thức rồi rút gọn tử thức để chứng minh $B = \dfrac{x}{x+1}$.

c) Nhân hai biểu thức A và B để tìm P, biến đổi $P$ về dạng $a + \dfrac{b}{x+1}$ với a, b là các hằng số. Để P nhận giá trị nguyên thì mẫu thức phải là ước của tử thức, từ đó tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện và chọn ra số nguyên lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Ta thấy $x = 1,5$ thỏa mãn điều kiện xác định $x \neq \pm 1; x \neq 0$.

Thay $x = 1,5$ vào biểu thức A, ta được: $A = \dfrac{1,5 - 1}{1,5} = \dfrac{0,5}{1,5} = \dfrac{1}{3}$

Vậy khi $x = 1,5$ thì $A = \dfrac{1}{3}$.

b) Với $x \neq \pm 1; x \neq 0$, ta có:

$B = \dfrac{2x-4}{x^2-1} - \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{x}{x-1}$

$B = \dfrac{2x-4}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

$B = \dfrac{2x - 4 - 4(x - 1) + x(x + 1)}{(x-1)(x+1)}$

$B = \dfrac{2x - 4 - 4x + 4 + x^2 + x}{(x-1)(x+1)}$

$B = \dfrac{x^2 - x}{(x-1)(x+1)}$

$B = \dfrac{x(x - 1)}{(x-1)(x+1)}$

$B = \dfrac{x}{x+1}$ (điều phải chứng minh).

c) Ta có: $P = A \cdot B = \dfrac{x-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x-1}{x+1}$

Biến đổi P: $P = \dfrac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \dfrac{2}{x + 1}$

Để biểu thức P nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{2}{x+1}$ phải nhận giá trị nguyên.

Vì x là số nguyên nên $x + 1$ là số nguyên, do đó $x + 1$ phải là ước của 2.

Các ước của 2 là: $\{-2; -1; 1; 2\}$.

Ta có bảng giá trị:

Do đó các giá trị nguyên của x thỏa mãn P nhận giá trị nguyên là $x \in \{-3; -2\}$.

Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là $x = -2$.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link