Vẽ hình chữ nhật ABCD ($AB > BC$). Vẽ đường thẳng xy đi qua B và song song với AC,

Câu hỏi số 987378:

Vận dụng

Vẽ hình chữ nhật ABCD ($AB > BC$). Vẽ đường thẳng xy đi qua B và song song với AC, đường thẳng xy cắt đường thẳng AD tại E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACBE là hình bình hành;

b) Chứng minh rằng $\Delta EBD$ cân tại B;

c) Kẻ AP vuông góc với EB tại P và kẻ BQ vuông góc với AC tại Q. Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm P, O, Q thẳng hàng;

d) Vẽ đường thẳng DH vuông góc với AC tại H; đường thẳng DH cắt AB và $EB$ lần lượt tại F và K. Đường thẳng CK cắt AB tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của FB.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987378

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

b) Dùng tính chất hình bình hành $BE = AC$ và tính chất hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau $BD = AC$ để suy ra $BE = BD$.

c) Chứng minh tứ giác APBQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông. Do O là trung điểm đường chéo AB nên O cũng là trung điểm đường chéo PQ, từ đó suy ra P, O, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh $HK \perp KB$. Chứng minh tam giác EKD vuông tại K có KA là trung tuyến nên $KA = AD$, từ đó suy ra hình thang AKBC là hình thang cân, dẫn đến $MK = MB$. Sử dụng các góc phụ nhau để chứng minh tam giác MKF cân tại M, suy ra $MK = MF = MB$.

Giải chi tiết

a) Vì đường thẳng xy đi qua B và song song với AC, E thuộc xy nên ta có $BE \parallel AC$.

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên $AD \parallel BC$, mà E thuộc đường thẳng AD nên $AE \parallel BC$.

Tứ giác ACBE có $BE \parallel AC$ và $AE \parallel BC$ nên là hình bình hành.

b) Vì ACBE là hình bình hành nên $BE = AC$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau: $BD = AC$.

Từ đó suy ra $BE = BD$. Vậy tam giác EBD cân tại B.

c) Ta có $BE \parallel AC$ (theo giả thiết).

Mà $AP \perp EB$ tại $P \Rightarrow AP \perp AC \Rightarrow \angle{PAC} = 90^o$.

Mặt khác $BQ \perp AC$ tại $Q \Rightarrow \angle{AQB} = 90^o$ và $BQ \perp EB$ (do $EB \parallel AC$).

Xét tứ giác APBQ, ta có:

$\angle{APB} = 90^o$ (do $AP \perp EB$)

$\angle{AQB} = 90^o$ (do $BQ \perp AC$)

$\angle{PBQ} = 90^o$ (do $BQ \perp EB$)

Do đó tứ giác APBQ là hình chữ nhật.

Vì O là trung điểm của đường chéo AB nên O đồng thời là trung điểm của đường chéo PQ.

Vậy ba điểm P, O, Q thẳng hàng.

d) Ta có $DH \perp AC$ tại H, mà $EB \parallel AC$ nên $DH \perp EB$ tại K

Hay $HK \perp KB \Rightarrow \angle{EKD} = 90^o$.

Do ACBE là hình bình hành nên $AE = BC$.

Hình chữ nhật ABCD có $AD = BC$, do đó $AE = AD$, suy ra A là trung điểm của ED.

Xét tam giác EKD vuông tại K, có KA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ED nên: $KA = \dfrac{1}{2}ED = AD$

Mà $AD = BC$ nên $KA = BC$.

Xét tứ giác AKBC có $KB \parallel AC$ (do $K \in EB \parallel AC$) nên AKBC là hình thang.

Hình thang AKBC có hai cạnh bên $KA = BC$ và hai cạnh bên không song song nên AKBC là hình thang cân.

Suy ra $\angle{MKB} = \angle{MBK}$ (hai góc kề đáy KB).

Do đó tam giác MKB cân tại $M \Rightarrow MK = MB$.

Lại có:

$\angle{MKB} + \angle{MKF} = \angle{EKD} = 90^o$

Tam giác KFB vuông tại K ($HK \perp KB$) nên:

$\angle{MBK} + \angle{KFB} = 90^o$

Mà $\angle{MKB} = \angle{MBK}$ nên $\angle{MKF} = \angle{KFB}$.

Suy ra tam giác MKF cân tại $M \Rightarrow MK = MF$.

Từ đó suy ra $MF = MB (= MK)$.

Vậy M là trung điểm của FB.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link