Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, điểm M, H lần lượt thuộc cạnh
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, điểm M, H lần lượt thuộc cạnh CD, AD sao cho $DM = 2MC$ và $DH = 2HA$. Gọi E là giao điểm DG cắt BH. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua E song song $(ABC)$ cắt BM tại F. Tính độ dài đoạn thẳng EF theo a?
Quảng cáo
Tính độ dài MH theo a bằng định lí Thalès trong tam giác ACD.
Gọi K là giao điểm của DG và AB, áp dụng định lí Thalès chứng minh $HG \parallel AK$ và tính tỉ số $\dfrac{HG}{BK}$, từ đó suy ra tỉ số $\dfrac{BE}{BH}$.
Có $DM = 2MC \Rightarrow \dfrac{DM}{DC} = \dfrac{2}{3}$; $DH = 2HA \Rightarrow \dfrac{DH}{DA} = \dfrac{2}{3}$
Suy ra $\dfrac{DM}{DC} = \dfrac{DH}{DA} = \dfrac{2}{3}$.
Theo định lí Thalès đảo, ta có: $MH \parallel AC$. Vì $AC \subset (ABC)$ nên $MH \parallel (ABC)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua E và song song với $(ABC)$.
Mặt phẳng $(BMH)$ chứa đường thẳng $MH \parallel (ABC)$ và chứa điểm $E \in BH$, cắt mặt phẳng $(\alpha)$ theo giao tuyến EF.
Do đó $EF \parallel MH$ Theo định lí Thalès trong tam giác ACD với $MH \parallel AC$:
$\dfrac{MH}{AC} = \dfrac{DM}{DC} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MH = \dfrac{2}{3}AC = \dfrac{2}{3}a$
Gọi $K = DG \cap AB$. Vì G là trọng tâm của tam giác ABD nên K là trung điểm của cạnh AB, do đó: $AK = BK = \dfrac{1}{2}AB$
Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có $\dfrac{DG}{DK} = \dfrac{2}{3}$
Lại có $\dfrac{DH}{DA} = \dfrac{2}{3}$, nên $\dfrac{DG}{DK} = \dfrac{DH}{DA} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HG \parallel AK$
Theo định lí Thalès trong tam giác DAK: $\dfrac{HG}{AK} = \dfrac{DH}{DA} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HG = \dfrac{2}{3}AK$
Vì $AK = BK$ nên $HG = \dfrac{2}{3}BK \Rightarrow \dfrac{HG}{BK} = \dfrac{2}{3}$
Vì $K \in AB$ và $HG \parallel AK$ nên $HG \parallel BK \Rightarrow \dfrac{HE}{BE} = \dfrac{HG}{BK} = \dfrac{2}{3}$
Từ $\dfrac{HE}{BE} = \dfrac{2}{3}$, ta có $\dfrac{BE}{BH} = \dfrac{BE}{BE + HE} = \dfrac{3}{3 + 2} = \dfrac{3}{5}$
Xét tam giác BMH có $EF \parallel MH$, áp dụng hệ quả định lí Thalès: $\dfrac{EF}{MH} = \dfrac{BE}{BH} = \dfrac{3}{5}$
Suy ra $EF = \dfrac{3}{5}MH = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3}a = \dfrac{2}{5}a$
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
