Cho một đoạn thẳng ban đầu có độ dài bằng $a = 1$. Ta thực hiện các bước

Câu hỏi số 989623:

Vận dụng

Cho một đoạn thẳng ban đầu có độ dài bằng $a = 1$. Ta thực hiện các bước sau:

1. Chia đoạn thẳng này thành 3 phần bằng nhau và xóa đi phần đoạn thẳng ở chính giữa (không bao gồm hai mút). Khi đó ta còn lại 2 đoạn thẳng, mỗi đoạn có độ dài $\dfrac{1}{3}$.

2. Với mỗi đoạn thẳng còn lại, ta tiếp tục chia làm 3 phần bằng nhau và xóa đi đoạn ở chính giữa. Khi đó ta còn lại 4 đoạn thẳng, mỗi đoạn có độ dài $\dfrac{1}{9}$.

3. Lặp lại quá trình trên liên tiếp.

Tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng đã bị xóa đi sau 10 bước (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. 0,96.

B. 0,98

C. 0,04.

D. 0,08

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:989623

Phương pháp giải

Tổng độ dài các đoạn thẳng bị xóa ở mỗi bước lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Giải chi tiết

- Ở bước 1: Ta xóa 1 đoạn thẳng có độ dài $\dfrac{1}{3}$.

Tổng độ dài bị xóa ở bước 1 là: $u_1 = \dfrac{1}{3}$

- Ở bước 2: Với 2 đoạn thẳng còn lại, mỗi đoạn ta xóa 1 đoạn có độ dài $\dfrac{1}{3^2}$.

Tổng độ dài bị xóa ở bước 2 là:

$u_2 = 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}$

- Ở bước 3: Với 4 đoạn thẳng còn lại, mỗi đoạn ta xóa 1 đoạn có độ dài $\dfrac{1}{3^3}$.

Tổng độ dài bị xóa ở bước 3 là:

$u_3 = 4 \cdot \dfrac{1}{27} = \dfrac{4}{27} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$

Tổng quát, ở bước thứ k ($k \ge 1$), tổng độ dài các đoạn thẳng bị xóa là:

$u_k = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}$

Dãy số $(u_k)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = \dfrac{1}{3}$ và công bội $q = \dfrac{2}{3}$.

Tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng đã bị xóa đi sau 10 bước là:

$S_{10} = u_1 + u_2 + \dots + u_{10} = \dfrac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q}$$= \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\right]}{1 - \frac{2}{3}} \approx 0,98$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.