Người ta bơm khí vào một quả bóng hình cầu với tốc độ làm thể tích tăng $64\pi \text{

Câu hỏi số 989830:

Vận dụng

Người ta bơm khí vào một quả bóng hình cầu với tốc độ làm thể tích tăng $64\pi \text{ cm}^3/\text{s}$. Giả sử quả bóng luôn có dạng hình cầu. Tính tốc độ tăng đường kính của quả bóng tại thời điểm bán kính bằng 4 cm (đơn vị cm/s).

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:989830

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Sử dụng đạo hàm của hàm số theo thời gian $t$ để biểu diễn tốc độ thay đổi của các đại lượng: $V'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$.

Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính $D$ và bán kính $R$ là $D = 2R$, suy ra tốc độ tăng đường kính là $D'(t) = 2R'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi $R(t), D(t)$ và $V(t)$ lần lượt là bán kính, đường kính và thể tích của quả bóng hình cầu tại thời điểm $t$.

Theo giả thiết, tốc độ tăng thể tích là $V'(t) = 64\pi$.

Thể tích của quả bóng là $V(t) = \dfrac{4}{3}\pi R^3(t)$.

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$, ta có:

$V'(t) = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3R^2(t) \cdot R'(t)$$V'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$

Tại thời điểm bán kính $R = 4$, thay các giá trị đã biết vào phương trình đạo hàm trên, ta được:

$64\pi = 4\pi \cdot 4^2 \cdot R'(t)$$64\pi = 64\pi \cdot R'(t)$$R'(t) = 1$

Điều này có nghĩa là tốc độ tăng bán kính của quả bóng là $1 \text{ cm/s}$.

Mặt khác, đường kính của quả bóng là $D(t) = 2R(t)$.

Lấy đạo hàm hai vế theo $t$, ta có tốc độ tăng đường kính là:$D'(t) = 2R'(t) = 2.1 = 2$

Vậy tốc độ tăng đường kính của quả bóng tại thời điểm bán kính bằng 4 cm là $2 \text{ cm/s}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.