Một quả bóng hình cầu đang được bơm căng. Tại thời điểm bán kính quả bóng bằng 3 cm,

Câu hỏi số 989831:

Vận dụng

Một quả bóng hình cầu đang được bơm căng. Tại thời điểm bán kính quả bóng bằng 3 cm, diện tích mặt cầu tăng với tốc độ $24\pi \text{ cm}^2/\text{s}$. Tính tốc độ tăng thể tích của quả bóng tại thời điểm đó (đơn vị $\text{cm}^3/\text{s}$).

A. $36\pi$

B. $12\pi$

C. $24\pi$

D. $18\pi$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:989831

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4\pi R^2$ và công thức tính thể tích khối cầu là $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp theo biến thời gian $t$ để biểu diễn tốc độ thay đổi của các đại lượng: tốc độ tăng diện tích là $S'(t) = 8\pi R(t) \cdot R'(t)$ và tốc độ tăng thể tích là $V'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi $R(t), S(t)$ và $V(t)$ lần lượt là bán kính, diện tích mặt cầu và thể tích của quả bóng hình cầu tại thời điểm $t$.

Diện tích mặt cầu của quả bóng là $S(t) = 4\pi R^2(t)$.

Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian $t$, ta có:$S'(t) = 4\pi \cdot 2R(t) \cdot R'(t) = 8\pi R(t) \cdot R'(t)$

Theo giả thiết, tại thời điểm bán kính $R = 3$, tốc độ tăng diện tích mặt cầu là $S'(t) = 24\pi$.

Thay các giá trị này vào phương trình đạo hàm trên, ta được:$24\pi = 8\pi \cdot 3 \cdot R'(t)$$24\pi = 24\pi \cdot R'(t)$$R'(t) = 1$

Vậy tốc độ tăng bán kính của quả bóng tại thời điểm đó là $1 \text{ cm/s}$.

Mặt khác, thể tích của quả bóng hình cầu là $V(t) = \dfrac{4}{3}\pi R^3(t)$.

Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian $t$, ta có:

$V'(t) = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3R^2(t) \cdot R'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$

Tại thời điểm bán kính $R = 3$ và tốc độ tăng bán kính $R'(t) = 1$, tốc độ tăng thể tích của quả bóng là:$V'(t) = 4\pi \cdot 3^2 \cdot 1 = 36\pi$

Vậy tốc độ tăng thể tích của quả bóng tại thời điểm đó là $36\pi \text{ cm}^3/\text{s}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.