Một quả bóng hình cầu được bơm căng sao cho bán kính tăng với tốc độ không đổi $0,2 \text{

Câu hỏi số 989832:

Vận dụng

Một quả bóng hình cầu được bơm căng sao cho bán kính tăng với tốc độ không đổi $0,2 \text{ cm/s}$. Tính tốc độ tăng thể tích của quả bóng tại thời điểm bán kính bằng 5 cm (đơn vị $\text{cm}^3/\text{s}$).

A. $20\pi$

B. $10\pi$

C. $5\pi$

D. $40\pi$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:989832

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp theo biến thời gian $t$ để tính tốc độ thay đổi của thể tích theo thời gian: $V'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi $R(t)$ và $V(t)$ lần lượt là bán kính và thể tích của quả bóng hình cầu tại thời điểm $t$.

Theo giả thiết, bán kính tăng với tốc độ không đổi $0,2 \text{ cm/s}$ nên $R'(t) = 0,2$.

Thể tích của quả bóng hình cầu được tính theo công thức:$V(t) = \dfrac{4}{3}\pi R^3(t)$

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên theo biến thời gian $t$, ta được:

$V'(t) = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3R^2(t) \cdot R'(t) = 4\pi R^2(t) \cdot R'(t)$

Tại thời điểm bán kính của quả bóng $R(t) = 5$, thay các giá trị vào phương trình đạo hàm trên, ta có:

$V'(t) = 4\pi \cdot 5^2 \cdot 0,2 = 4\pi \cdot 25 \cdot 0,2 = 20\pi$

Vậy tốc độ tăng thể tích của quả bóng tại thời điểm bán kính bằng 5 cm là $20\pi \text{ cm}^3/\text{s}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.