Người ta bơm nước vào một bể chứa hình trụ sao cho thể tích của bể tăng với tốc độ

Câu hỏi số 989833:

Vận dụng

Người ta bơm nước vào một bể chứa hình trụ sao cho thể tích của bể tăng với tốc độ bằng $60\pi \text{ cm}^3/\text{s}$. Giả sử trong quá trình bơm, bể luôn có dạng hình trụ. Tính tốc độ tăng chiều cao của bể tại thời điểm bán kính đáy bằng 3 cm (đơn vị cm/s).

A. $\dfrac{10}{3}\pi$

B. $5\pi$

C. $\dfrac{20}{3}\pi$

D. $6\pi$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:989833

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là $V = \pi R^2 h$.

Sử dụng đạo hàm của hàm số theo biến thời gian $t$ để biểu diễn tốc độ thay đổi của các đại lượng: $V'(t) = \pi R^2 \cdot h'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi $R, h(t)$ và $V(t)$ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và thể tích của lượng nước trong bể hình trụ tại thời điểm $t$.

Do bể có dạng hình trụ và bán kính đáy không đổi trong quá trình bơm nước nên $R$ là hằng số.

Theo giả thiết, tốc độ tăng thể tích là $V'(t) = 60\pi$.

Thể tích của lượng nước trong bể là $V(t) = \pi R^2 \cdot h(t)$.

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$, ta có:$V'(t) = \pi R^2 \cdot h'(t)$

Tại thời điểm bán kính đáy $R = 3$, thay các giá trị đã biết vào phương trình đạo hàm trên, ta được:

$60\pi = \pi \cdot 3^2 \cdot h'(t)$$60\pi = 9\pi \cdot h'(t)$$h'(t) = \dfrac{60}{9} = \dfrac{20}{3}$

Vậy tốc độ tăng chiều cao của bể tại thời điểm đó là $\dfrac{20}{3}\pi \text{ cm/s}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.