Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tại một bến cảng, một cần cẩu đang hạ một kiện hàng nặng xuống boong của một tàu chở

Tại một bến cảng, một cần cẩu đang hạ một kiện hàng nặng xuống boong của một tàu chở hàng. Do tác động của sóng biển, boong tàu dao động dập dềnh theo phương thẳng đứng. Đồng thời, do lực cản của gió, kiện hàng treo trên cáp cẩu cũng có những dao động nhẹ theo phương thẳng đứng. Tại thời điểm $t$ (giây), chiều cao (tính bằng mét) của điểm đặt hàng trên boong tàu và đáy của kiện hàng so với mặt nước biển (mực nước trung bình) được xấp xỉ và mô hình hóa lần lượt bởi các hàm số:

Chiều cao boong tàu: $f(t) = 15 + \sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$ $(m)$

Chiều cao đáy kiện hàng: $h(t) = 25 + \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$ $(m)$.

Gọi $d(t)$ là khoảng cách theo phương thẳng đứng từ đáy kiện hàng xuống điểm đặt hàng trên boong tàu. Giả định kiện hàng và điểm đặt hàng luôn nằm trên cùng một trục thẳng đứng.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Tại thời điểm bắt đầu quan sát ($t = 0$), chênh lệch độ cao (khoảng cách) giữa đáy kiện hàng và điểm đặt hàng trên boong tàu là bao nhiêu mét?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:989984
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách $d(t) = h(t) - f(t)$ và thay $t = 0$ vào hàm số $d(t)$ để tìm chênh lệch độ cao tại thời điểm ban đầu.

Giải chi tiết

Khoảng cách theo phương thẳng đứng từ đáy kiện hàng xuống điểm đặt hàng trên boong tàu được xác định bởi hàm số:

$d(t) = h(t) - f(t) = 25 + \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) - \left(15 + \sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\right)$

$d(t) = 10 + \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) - \sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$

Tại thời điểm bắt đầu quan sát $t = 0$, khoảng cách là:

$d(0) = 10 + \sin(0) - \sqrt{3}\cos(0)$$d(0) = 10 - \sqrt{3}=8,267$

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Hệ thống an toàn của cần cẩu được cài đặt để tự động dừng hạ cáp và phát chuông cảnh báo nếu khoảng cách $d(t)$ giữa kiện hàng và boong tàu nhỏ hơn $7,5m$ (để tránh va đập mạnh do sóng). Căn cứ vào mô hình trên, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ và cho biết hệ thống an toàn có phát chuông cảnh báo hay không?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:989985
Phương pháp giải

Viết lại hàm số $d(t)$ dưới dạng $d(t) = c + A\sin(\omega t + \varphi)$ bằng cách áp dụng công thức biến đổi $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \alpha)$.

Sau đó, sử dụng tính chất $-1 \le \sin x \le 1$ để tìm giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ và so sánh với mức an toàn 7,5 m.

Giải chi tiết

Ta có hàm số khoảng cách:$d(t) = 10 + \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) - \sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$

$d(t) = 10 + 2\left[ \dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) \right]$

$d(t) = 10 + 2\left[ \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right]$

$d(t) = 10 + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right)$

Vì hàm số lượng giác luôn thỏa mãn điều kiện $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1$ với mọi thời điểm $t \ge 0$, ta có:

$-2 \le 2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 2$

$8 \le 10 + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 12$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số khoảng cách $d(t)$ là $8$ (m).

Bởi vì giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ bằng $8$ m và $8 > 7,5$, khoảng cách giữa kiện hàng và boong tàu luôn duy trì ở mức an toàn, không bao giờ nhỏ hơn $7,5$ m.

Do đó, hệ thống an toàn sẽ không phát chuông cảnh báo.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Tốc độ xích lại gần hoặc chênh lệch nhau giữa kiện hàng và boong tàu được đặc trưng bởi hàm vận tốc tương đối $v(t) = d'(t)$. Để người lái cẩu chuẩn bị hãm phanh an toàn, cần xác định thời điểm $t_0$ ($t_0 > 0$) đầu tiên mà vận tốc $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất. Hãy tìm thời điểm $t_0$ đó (đơn vị: giây).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:989986
Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số khoảng cách để tìm hàm vận tốc tương đối $v(t) = d'(t)$.

Dựa vào tính chất hàm lượng giác để xác định điều kiện hàm $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất, giải phương trình lượng giác để tìm chuỗi các thời điểm đạt cực đại, từ đó chọn nghiệm dương $t_0 > 0$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có khoảng cách:$d(t) = 10 + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right)$

Khi đó $v(t) = d'(t) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{6} \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right)$

Vì giá trị lớn nhất của hàm số $\cos$ là $1$, hàm số vận tốc tương đối $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi:$\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$

Giải phương trình lượng giác cơ bản, ta được:

$\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{3} = k2\pi$ (với $k$ là số nguyên)

$\dfrac{\pi}{6}t = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

$t = 2 + 12k$

Yêu cầu bài toán là tìm thời điểm $t_0$ đầu tiên lớn hơn $0$.

Với $k = -1$, $t = 2 - 12 = -10$ (loại vì nhỏ hơn $0$).

Với $k = 0$, $t = 2 + 0 = 2$ (thỏa mãn và là giá trị dương nhỏ nhất).

Vậy thời điểm $t_0$ đầu tiên vận tốc tương đối đạt lớn nhất là giây thứ $2$.

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →