Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = \ln 2$ và $u_{n+1} = \log_{n+1}(n+2) \cdot u_n + 2\ln(n+2)$

Câu hỏi số 990017:

Thông hiểu

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = \ln 2$ và $u_{n+1} = \log_{n+1}(n+2) \cdot u_n + 2\ln(n+2)$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $e^{\dfrac{u_m}{2m-1}} > 2024$.

Đáp án:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990017

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đổi cơ số của logarit: $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$.

Chia cả 2 vế của hệ thức truy hồi cho đại lượng thích hợp (ở bài này là $\ln(n+2)$) để đưa dãy số về dạng cấp số cộng.

Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, từ đó suy ra $u_n$.Thay $u_m$ vào bất phương trình mũ, giải và tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Từ giả thiết, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:$u_{n+1} = \log_{n+1}(n+2) \cdot u_n + 2\ln(n+2)$

Ta có $\log_{n+1}(n+2) = \dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)}$, ta viết lại hệ thức thành:

$u_{n+1} = \dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} u_n + 2\ln(n+2)$

Do $n \ge 1 \Rightarrow n+2 \ge 3 \Rightarrow \ln(n+2) > 0$.

$\dfrac{u_{n+1}}{\ln(n+2)} = \dfrac{u_n}{\ln(n+1)} + 2$

Đặt $v_n = \dfrac{u_n}{\ln(n+1)}$.

Dãy số $(v_n)$ thỏa mãn:$\begin{cases} v_1 = \dfrac{u_1}{\ln(1+1)} = \dfrac{\ln 2}{\ln 2} = 1 \\ v_{n+1} = v_n + 2 \end{cases}$

Từ đây suy ra $(v_n)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $v_1 = 1$ và công sai $d = 2$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(v_n)$ là:$v_n = v_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$

Trả lại biến cũ, ta có:$\dfrac{u_n}{\ln(n+1)} = 2n - 1 \implies u_n = (2n-1)\ln(n+1)$

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm $m$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho:

$e^{\dfrac{u_m}{2m-1}} > 2024$

$\Leftrightarrow e^{\dfrac{(2m-1)\ln(m+1)}{2m-1}} > 2024$

$\Leftrightarrow e^{\ln(m+1)} > 2024$

$\Leftrightarrow m + 1 > 2024$

$\Leftrightarrow m > 2023$

Vì $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên ta chọn $m = 2024$.

Đáp án: 2024

Đáp án cần điền là:

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.