Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGTD & thi cuối học kì II lớp 10, 11, 12
↪ ĐGTD Bách khoa (TSA) - Trạm số 8 ↪ Thi cuối học kì II lớp 10, 11, 12
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 10
Bất đẳng thức - Bất phương trình

Bất đẳng thức - Bất phương trình

Câu hỏi số 106189:
Vận dụng

Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng:

\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:106189
Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\leq (1+1+1)\left [ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \right ]

=> \frac{1}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}    (1)

Mặt khác Theo BĐT Cauchy ta có:

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3   (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=\frac{3}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}

ĐPCM

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn