Cho hệ phương trình .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x2 + y2 + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi số 10677:

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx+(m+1)y=1\\(m+1)x-my=8m+3\end{matrix}\right.$ .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x² + y² + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.

A. m = $\frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}-\sqrt{39}}$ .

B. m = $\frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}$ .

C. m = $\frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}$ .

D. m = $\frac{6+\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10677

Giải chi tiết

Hệ PT có nghiệm duy nhất ⇔hai đường thẳng mx + (m + 1)y = 1 , (1) và (m + 1)x – my = 8m + 3 (2) cắt nhau

Xét vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\overrightarrow{n_{1}}$ (m, m +1); $\overrightarrow{n_{2}}$ (m +1; -m).

Do đó $\overrightarrow{n_{1}}$ . $\overrightarrow{n_{2}}$ = 0, suy ra hai đường thẳng (1); (2) luôn vuông góc nên cắt nhau

Gọi giao điểm là I(x; y). Đường thẳng (1) đi qua A(-1;1) cố định ; đường thẳng (2) luôn đi qua B(3; -5) cố định

Điểm I thuộc đường tròn đường kính AB nên có PT: (x + 1)² + ( y + 2)² = 13 (*)

Từ (*)⇔( $\frac{x-1}{\sqrt{13}}$ )² + ( $\frac{y+2}{\sqrt{13}}$ )² = 1. Đặt x = 1 + √13cost; y = -2 + √13sint

P = |(x -1)² + (y +2)² + 2x +2√3y – 5| = |10 - 4√3 + 2√13(cost + √3sint)| = |10 - 4√3 + 4√13cos(t - $\frac{\pi }{3}$ )|

P đạt giá trị lớn nhất ⇔cos(t - $\frac{\pi }{3}$ ) = 1 ⇔x = 1+ $\frac{\sqrt{13}}{2}$ ; y = -2 + $\frac{\sqrt{39}}{2}$

Do đó m = $\frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.