Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4|sin x| + 2|cos x| + 2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hàm số và các bài toán liên quan

Câu hỏi số 1229:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4^{|sin x|} + 2^{|cos x| + 2}

A. Giá trị nhỏ nhất của y là 0 Giá trị lớn nhấtt của y là 8

B. Giá trị nhỏ nhất của y là 8 Giá trị lớn nhấtt của y là 5. $4^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

C. Giá trị nhỏ nhất của y là 0 Giá trị lớn nhất của y là 5. $4^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

D. Giá trị nhỏ nhất của y là 0 Giá trị lớn nhất của y là 5. $4^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1229

Giải chi tiết

Đặt |sin x| = t, 0 ≤ t ≤ 1.

Khi đó y = 4^t + $2^{\sqrt{1-t^{2}}+2}$ , 0 ≤ t ≤ 1

y' = 4^t ln4 + $2^{\sqrt{1-t^{2}}+2}$ . $\frac{-t}{\sqrt{1-t^{2}}}$ ln2 , 0 ≤ t < 1

Ta có y' = 0 ⇔ 4^t = $\dpi{100} \fn_jvn \small 2^{\sqrt{1-t^{2}}}$ . $\frac{2t}{\sqrt{1-t^{2}}}$ ⇔ $\frac{2^{2t}}{2t}$ = $\frac{2^{\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}$ , 0 < t < 1 (1)

Xét hàm số f(u) = $\frac{2^{u}}{u}$ , 0< u < 2.

f'(u) = $\dpi{100} \frac{u2^{u}ln2-2^{u}}{u^{2}}$ = $\frac{2^{u}(uln2-1)}{u^{2}}$ , 0< u < 2

f'(u) = 0 ⇔ u = $\frac{1}{ln2}$ ; f'(u) < 0 ⇔ 0 < u < $\frac{1}{ln2}$

Chú ý rằng 1 < $\frac{1}{ln2}$ < 2 và f(1) = f(2) = 2

Suy ra f(u) ≤ 2, ∀u ∈ [1;2) và f(u) > 2, ∀u ∈ (0;1)

Do đó, nếu 1 ≤ 2t < 2 thì $\frac{2^{2t}}{2t}$ ≤ 2 < $\frac{2^{\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}$ , nên (1) không thỏa mãn.

Vậy 0 < 2t < 1. Do f(u) nghịch biến trên (0;1) và 2t, $\sqrt{1-t^{2}}$ ∈ (0;1) nên phương trình (1) tương đương với 2t = $\sqrt{1-t^{2}}$ , 0 < t < $\frac{1}{2}$ ⇔ t = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Ta có y(0) = 9, y(1) = 8, y( $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ) = 5. $4^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của y là 8, đạt khi cosx = 0;

Giá trị lớn nhất của y là5. $4^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$ , đạt khi |sin x| = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.