Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 1239:

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{x^{3}+3}{y^{2}+2}$ + $\frac{y^{3}+3}{z^{2}+2}$ + $\frac{z^{3}+3}{x^{2}+2}$

A. Giá trị lớn nhất của biểu thức P là $\frac{9}{2}$

B. Giá trị lớn nhất của biểu thức P là $-\frac{9}{2}$

C. Giá trị lớn nhất của biểu thức P là = $\frac{9}{4}$

D. Giá trị lớn nhất của biểu thức P là $-\frac{9}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1239

Giải chi tiết

Vì a,b ∈ [0;1] nên ta có

$\frac{a^{3}+3}{b^{2}+2}$ ≤ $\frac{a^{2}+3}{b^{2}+2}$ = (a³ + 3). $\frac{1}{2}$ $\left ( 1-\frac{b^{2}}{b^{2}+2} \right )$

= $\frac{1}{2}$ (a² + 3) - $\frac{1}{2}$ (a² + 3). $\frac{b^{2}}{b^{2}+2}$ ≤ $\frac{1}{2}$ (a² + 3) - $\frac{1}{2}$ (a² + 3). $\frac{b^{2}}{3}$

= $\frac{1}{2}$ (a² - b²) + $\frac{3}{2}-\frac{1}{6}$ a²b²

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b ∈ {0;1}

Hoàn toàn tương tự ta có

$\frac{b^{3}+3}{c^{2}+2}\leq \frac{1}{2}$ (b²– c²) + $\frac{3}{2}-\frac{1}{6}$ .b²c²

$\frac{c^{3}+3}{a^{2}+2}\leq \frac{1}{2}$ (c² - a²) + $\frac{3}{2}-\frac{1}{6}$ .c²a²

Suy ra P ≤ $\frac{9}{2}-\frac{1}{6}$ (a²b²+ b²c²+ c²a² ) ≤ $\frac{9}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, c ∈ {0;1} và a²b²+b²c²+ c²a² = 0 hay trong ba số a,b,c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

Suy ra giá trị lớn nhất của P là $\frac{9}{2}$ , đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.