Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B1 đến mặt phăng (A1BD) theo a.

Câu hỏi số 12998:

Cho lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3. Hình chiếu vuông góc của điểm A₁ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD₁A₁) và (ABCD) bằng 60⁰. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B₁ đến mặt phăng (A₁BD) theo a.

A. V_{ABCD.A1B1C1D1} = $\frac{3a^{3}}{2}$ ; d(B₁,(A₁BD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

B. V_{ABCD.A1B1C1D1} = $\frac{5a^{3}}{2}$ ; d(B₁,(A₁BD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

C. V_{ABCD.A1B1C1D1} = $\frac{3a^{3}}{2}$ ; d(B₁,(A₁BD)) = $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$ .

D. V_{ABCD.A1B1C1D1} = $\frac{a^{3}}{2}$ ; d(B₁,(A₁BD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:12998

Giải chi tiết

Học sinh tự vẽ hình.

Từ giả thiết ta được A₁O⊥(ABCD) với O là giao điểm của AC và BD.

Với E là trung điểm của AD thì: OE⊥AD và A₁E ⊥AD

=>((ADD₁A₁),(ABCD)) = $\widehat{A_{1}EO}$ = 60⁰

a.Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁ : Ta có :

V_{ABCD.A1B1C1D1} = A₁O.S_ABCD = A₁O.AB.AD.

Trong đó : A₁O = OE.tan $\widehat{A_{1}EO}$ = $\frac{AB}{2}$ .tan $\widehat{A_{1}EO}$ = $\frac{a}{2}$ .tan60⁰ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Từ đó: V_{ABCD.A1B1C1D1} = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .a.a√3 = $\frac{3a^{3}}{2}$

b.Tính khoảng cách từ B₁ đến mặt phẳng (A₁BD)

Từ C kẻ CH vuông góc với BD =>d(C,(A₁BD)) = CH.

Nhận xét rằng : B₁C//A₁D =>B₁C//(A₁BD) =>d(B₁,(A₁BD)) = d(C,(A₁BD)) = CH

Trong ∆BCD, ta có : $\frac{1}{CH^{2}}$ = $\frac{1}{BC^{2}}$ + $\frac{1}{CD^{2}}$ ⇔CH = $\frac{CD.BC}{\sqrt{CD^{2}+BC^{2}}}$ = $\frac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{3})^{2}}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.