Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. b. Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

Câu hỏi số 12999:

A. a. V_S.ABC = $\frac{a^{3}}{6}$ cos²α.sinα (đvtt); b.cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ với (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ).

B. a. V_S.ABC = $\frac{7a^{3}}{6}$ cos²α.sinα (đvtt); b.cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ với (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ).

C. a. V_S.ABC = $\frac{a^{3}}{6}$ cos²α.sinα (đvtt); b.cosα = $\sqrt{\frac{5}{3}}$ với (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ).

D. a. V_S.ABC = $\frac{5a^{3}}{6}$ cos²α.sinα (đvtt); b.cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ với (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:12999

Giải chi tiết

a.Ta có: V_S.ABC = $\frac{1}{3}$ S_∆ABC.SA = $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{2}$ AB.BC.SA = $\frac{1}{6}$ AB².SA. (1)

Nhận xét tằng : BC⊥AB, BC⊥SA=>BC⊥(SAB) =>BC⊥SB

=>g((SBC),(ABC)) = $\widehat{ SBA}$ = α

Trong ∆SAB vuông tại A, ta có: AB = SB.cos $\widehat{ SBA}$ = a.cosα. (2)

SA = SB.sin $\widehat{ SBA}$ = a.sinα. (3)

Thay (2), (3) vào (1) ta được : V_S.ABC = $\frac{1}{6}$ a².cos²α.a.sinα = $\frac{a^{3}}{6}$ cos²α.sinα (đvtt).

b.Xét hàm số y = cos²α.sinα trên khoảng (0; $\frac{\pi }{2}$ ),

ta có : y’ = -2cosα.sinα.sinα + cos²α.cosα = (3cos²α – 2)cosα.

y’ = 0⇔(3cos²α – 2)cosα = 0 (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ) ⇔cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Bảng biến thiên :

Vậy, ta có (V_S.ABC)_Max = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{27}$ đạt được khi cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ với (α∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.