Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Câu hỏi số 13005:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60⁰. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

A. V_S.ABCD = $\frac{3a^{3}\sqrt{15}}{5}$ .

B. V_S.ABCD = $\frac{7a^{3}\sqrt{15}}{5}$ .

C. V_S.ABCD = $\frac{2a^{3}\sqrt{15}}{5}$ .

D. V_S.ABCD = $\frac{a^{3}\sqrt{15}}{5}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13005

Giải chi tiết

Học sinh tự vẽ hình

+Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên : SI ⊥(ABCD)

=>V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ SI.S_ABCD(1)

Ta có ngay: S_ABCD = $\frac{1}{2}$ (AB + CD)AD = 3a² (2)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên BC, suy ra : IK ⊥BC (định lý ba đường vuông góc) =>g((SBC) và (ABCD)) = $\widehat{SKI}$ = 60⁰.

Ta có nhận xét: S_∆IBC = S_ABCD – (S_∆IBA + S_∆ICD ) = 3a² - $\frac{3a^{2}}{2}$ = $\frac{3a^{2}}{2}$

Mặt khác, ta cũng có : S_∆IBC = $\frac{1}{2}$ IK.BC = $\frac{1}{2}$ IK. $\sqrt{(AB-CD)^{2}+AD^{2}}$

⇔IK = $\frac{2S_{\Delta IBC}}{\sqrt{(AB-CD)^{2}+AD^{2}}}$ = $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$

Trong ∆SIK, ta có; SI = IK.tan $\widehat{SKI}$ = $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$ .tan60⁰ = $\frac{3a\sqrt{15}}{5}$ (3)

Thay (2),(3) vào (1), ta được V_S.ABCD = $\frac{3a^{3}\sqrt{15}}{5}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.