Tính tích phân: I = dx.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13820:

Tính tích phân: I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{x.sinx+(x+1)cosx}{x.sinx+cosx}$ dx.

A. I = $\frac{\pi }{4}$ - ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ + 1)].

B. I = $\frac{\pi }{4}$ + ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ - 1)].

C. I = $\frac{\pi }{4}$ + ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ + 1)].

D. I = $\frac{\pi }{4}$ - ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ - 1)].

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13820

Giải chi tiết

Ta biến đổi : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{x.sinx+cosx+x.cosx}{x.sinx+cosx}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ dx + $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{x.cosx}{x.sinx+cosx}$ dx (1)

Đặt I₁ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ dx , I₂ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{x.cosx}{x.sinx+cosx}$ dx.

Ta lần lượt:

+ Với I₁ = x $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{4}\\0\end{vmatrix}$ = $\frac{\pi }{4}$ .

+ Với I₂ thì với nhận xét (x.sinx + cosx)^’ = sinx + x.cosx – sinx = x.cosx ta viết lại nó dưới dạng:

I₂ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{d(x.sinx+cosx)}{x.sinx+cosx}$

= (ln|x.sinx + cosx|) $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{4}\\0\end{vmatrix}$

= ln| $\frac{\pi }{4}$ .sin $\frac{\pi }{4}$ + cos $\frac{\pi }{4}$ | - ln|0.sin0 + cos0| = ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ + 1)].

Thay I₁ và I₂ vào (1) ta được I = $\frac{\pi }{4}$ + ln[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ + 1)].

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.