Tính tích phân: I = dx.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13821:

Tính tích phân: I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1+x.sinx}{cos^{2}x}$ dx.

A. I = √3 + $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3).

B. I = √3 - $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3).

C. I = √3 + $\frac{2\pi }{3}$ - $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3).

D. I = √3 + $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ ln(2 + √3).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13821

Giải chi tiết

Ta có biến đổi : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1}{cos^{2}x}$ dx + $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{x.sinx}{cos^{2}x}$ dx (1)

Đặt I₁ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1}{cos^{2}x}$ dx , I₂ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{x.sinx}{cos^{2}x}$ dx.

Ta lần lượt:

+ Với I₁ thì : I₁ = tanx $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{3}\\0\end{vmatrix}$ = √3.

+ Với I₂ sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt :

$\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=\frac{sinx.dx}{cos^{2}x}\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}du=dx\\v=\frac{1}{cosx}\end{matrix}\right.$

Khi đó: I₂ = ( $\frac{x}{cosx}$ ) $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{3}\\0\end{vmatrix}$ - $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{dx}{cosx}$ = $\frac{\frac{\pi }{3}}{cos\frac{\pi }{3}}$ - $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{cosx.dx}{cos^{2}x}$

= $\frac{2\pi }{3}$ - $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{d(sinx)}{1-sin^{2}x}$

= $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}$ ( $\frac{1}{sinx-1}$ - $\frac{1}{sinx+1}$ )d(sinx)

= $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ (ln|sinx – 1| - ln|sinx + 1|) $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{3}\\0\end{vmatrix}$

= $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ (ln|sin $\frac{\pi }{3}$ – 1| - ln|sin $\frac{\pi }{3}$ + 1|) = $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3).

Thay I₁ và I₂ vào (1) ta được I = √3 + $\frac{2\pi }{3}$ + $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.