Cho các số thực dương x,y thỏa mãn (x-4)2+(y-4)2+2xy ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x5+y5+3(xy-1)(x+y-2).

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14409:

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn (x-4)²+(y-4)²+2xy ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x⁵+y⁵+3(xy-1)(x+y-2).

A. A_min= $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

B. A_min= $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$

C. A_min= $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

D. A_min= $\frac{17-5\sqrt{5}}{2}$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:14409

Giải chi tiết

Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng:

(x+y)²-8(x+y) ≤0 <=>0 ≤x+y ≤8

Mặt khác ta có: 4xy ≤(x+y)² =>-6xy ≥ $\frac{-3}{2}$ (x+y)².

Biến đổi A về dạng:

A=(x+y)³-6xy-3(x+y)+6 ≥(x+y)³(x+y)²-3(x+y)+6.

Đặt t=x+y(0 ≤t ≤8), ta xét hàm số:

f(t)=t^{3 -}t²-3t+6 trên đoạn D=[0;8].

f’(t)=3t²-3t-3; f’(t)=0 <=> t²-t-1=0 <=> t= $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Ta lần lượt có: f(0)=6; f( $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ )= $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ ; f8)=398.

Vậy, P_min= $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ , đạt được khi t= $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Từ đó suy ra A_min= $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ đạt được khi: $\left\{\begin{matrix} x=y\\x+y=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.$

<=>x=y= $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.