Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P++

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14436:

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P $=\frac{x}{2x+3y}$ + $\frac{y}{y+z}$ + $\frac{z}{x+z}$

A. P_min= $\frac{34}{33}$

B. P_min= $\frac{3}{4}$

C. P_min= $\frac{14}{33}$

D. P_min= $\frac{34}{23}$

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:14436

Giải chi tiết

Trước tiên ta đi chứng minh:

$\frac{1}{1+a}$ + $\frac{1}{1+b}$ ≥ $\frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ , với a,b dương và ab≥1

Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức về dạng:

$\frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}$ ≥ $\frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ <=> (a+b+2)(1+ $\sqrt{ab}$ )≥2(1+a)(1+b)

<=>(a+b) $\sqrt{ab}$ +2 $\sqrt{ab}$ ≥a+b+2ab <=>(a+b)( $\sqrt{ab}$ -1)-2 $\sqrt{ab}$ ( $\sqrt{ab}$ -1)≥0

<=>(a+b-2 $\sqrt{ab}$ ) $\sqrt{ab}$ -1)≥0 <=> $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$ ( $\sqrt{ab}$ -1)≥0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với a,b dương, ab≥1 và dấu "=" xay ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng bất đẳng thức trên, bằng việc viết lại P dưới dạng:

P= $\frac{1}{2+3\frac{y}{x}}$ + $\frac{1}{1+\frac{z}{y}}$ + $\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$ ≥ $\frac{1}{2+3\frac{y}{x}}$ + $\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{z}{y}$ = $\frac{x}{z}$ hoặc $\frac{x}{y}$ =1

Đặt t= $\sqrt{\frac{x}{y}}$ , t∈[1;2] xét hàm số g(t)= $\frac{1}{2+\frac{3}{t^{2}}}$ + $\frac{2}{1+t}$ = $=\frac{t^{2}}{2t^{2}+3}$ + $\frac{2}{1+t}$

Trên [1;2]

Ta có:

g'(t)= $\frac{2t(2t^{2}+3)-4t.2t^{2}}{(2t^{2}+3)^{3}}$ - $\frac{2}{(1+t)^{2}}$

= $\frac{2[t(2t^{2}+3)-4t^{3}](1+t)^{2}-2(2t^{2}+3)^{2}}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}$

= - $\frac{2[t^{3}(4t-3)+3t(2t-1)+9]}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}$ <0

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên [1;2] => g(t)≥g(2)= $\frac{34}{33}$

Dấu "=" xảy ra khi: t=2<=> $\sqrt{\frac{x}{y}}$ =2 <=> $\frac{x}{y}$ =4<=> x=4y<=> $\left\{\begin{matrix} x=4\\y=1 \end{matrix}\right.$

Từ đó ta có P_min= $\frac{34}{33}$ đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} x=4,y=1\\\frac{z}{y}=\frac{x}{z} \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x=4,y=1\\z=2 \end{matrix}\right.$

Vậy ta có P_min= $\frac{34}{33}$ đạt được khi x=4, y=1,z=2

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.