Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình lượng giác

Câu hỏi số 15664:

Giải phương trình: sinx + sin²x + sin³x + sin⁴x = cosx + cos²x + cos³x + cos⁴x

A. $\begin{bmatrix}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

B. $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

C. $\begin{bmatrix}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

D. $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:15664

Giải chi tiết

PT ⇔ (sinx – cosx) + (sin²x – cos²x) + (sin³x – cos³x) + (sin⁴x – cos⁴x) = 0

Có: sin²x – cos²x = (sinx – cosx)(sinx + cosx)

sin³x – cos³x = (sinx – cosx).[sin²x + sinxcosx + cos²x] = (sinx – cosx)(1 + sinxcosx)

sin⁴x – cos⁴x = (sin²x)² – (cos²x)² = (sin²x – cos²x)(sin²x + cos²x) = sin²x – cos²x = (sinx – cosx)(sinx + cosx)

PT ⇔ (sinx – cosx) + (sinx – cosx)(sinx + cosx) + (sinx – cosx)(1 + sinxcosx) + (sinx – cosx)(sinx + cosx) = 0

⇔ (sinx – cosx)[1 + 2(sinx + cosx) + (1 + sinxcosx)] = 0

=> $\begin{bmatrix}sinx-cosx=0(1)\\2(sinx+cosx)+sinxcosx+2=0(2)\end{bmatrix}$

Giải (1) ⇔ √2sin(x - $\frac{\pi }{4}$ ) = 0 ⇔ sin(x - $\frac{\pi }{4}$ ) = 0 ⇔ x - $\frac{\pi }{4}$ = kπ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ (k ∈ Z)

Giải (2) đặt t = sinx + cosx đk: t ∈ [-√2, √2]

=>t² = (sinx + cosx)² ⇔ t² = sin²x + cos²x + 2sinxcosx

⇔ t² = 1 + 2sinxcosx => sinxcosx = $\frac{t^{2}-1}{2}$

PT ⇔ 2t + $\frac{t^{2}-1}{2}$ + 2 = 0

⇔ t² + 4t + 3 = 0 ⇔ $\begin{bmatrix}t=-1\\t=-3(l)\end{bmatrix}$

Với t = -1 => sinx + cosx = -1

⇔ √2sin(x + $\frac{\pi }{4}$ ) = -1

⇔ sin(x + $\frac{\pi }{4}$ ) = - $\frac{1}{2}$

⇔ sin(x + $\frac{\pi }{4}$ ) = sin( - $\frac{\pi }{4}$ )

⇔ $\begin{bmatrix}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{bmatrix}$

⇔ $\begin{bmatrix}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z)

Vậy $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\pi +k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.