Tính tích phân I=dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 15771:

Tính tích phân I= $\int_{0}^{\frac{7}{3}}$ $\frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}$ dx

A. I= $\frac{46}{15}$

B. I= $\frac{4}{15}$

C. I= $\frac{23}{25}$

D. I= $\frac{1}{15}$

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:15771

Giải chi tiết

I= $\int_{0}^{\frac{7}{3}}$ (x+1) $(3x+1)^{-\frac{1}{3}}$ dx

Đặt t=3x+1 =>dt=(3x+1)'dx=3dx

=>dx= $\frac{dt}{3}$

=> x= $\frac{t-1}{3}$

Đổi cận: x=0,t=1; x= $\frac{7}{3}$ ,t=8

=> I= $\int_{1}^{8}$ ( $\frac{t-1}{3}$ +1) $t^{-\frac{1}{3}}$ . $\frac{dt}{3}$

= $\frac{1}{9}$ $\int_{1}^{8}$ (t-1+3). $t^{-\frac{1}{3}}$ .dt = $\frac{1}{9}$ $\int_{1}^{8}$ (t+2) $t^{-\frac{1}{3}}$ .dt= $\frac{1}{9}$ $\int_{1}^{8}$ ( $t^{\frac{2}{3}}$ +2. $t^{-\frac{1}{3}}$ )dt

= $\frac{1}{9}$ [ $\int_{1}^{8}$ $t^{\frac{2}{3}}$ .dt+2 $\int_{1}^{8}$ $t^{-\frac{1}{3}}$ dt]

= $\frac{1}{9}$ [ $\frac{t^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}$ $|_{1}^{8}$ +2. $\frac{t^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}$ $|_{1}^{8}$ ]

= $\frac{1}{9}$ [ $\frac{3}{5}$ . $t^{\frac{5}{3}}$ $|_{1}^{8}$ +3. $t^{\frac{2}{3}}$ $|_{1}^{8}$ ]

= $\frac{1}{15}$ ( $8^{\frac{5}{3}}$ - $1^{\frac{5}{3}}$ )+ $\frac{1}{3}$ ( $8^{\frac{2}{3}}$ - $1^{\frac{2}{3}}$ )

= $\frac{1}{15}$ (32-1)+ $\frac{1}{3}$ (4-1)= $\frac{31}{15}$ +1= $\frac{46}{15}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.