Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16706:

Vận dụng

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)² + (y – 4)² + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x³ + y³ + 3(xy – 1)(x + y – 2).

A. Giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17+5\sqrt{5}}{4}$ .

B. Giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ .

C. Giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{-17-5\sqrt{5}}{4}$ .

D. Giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{-17+5\sqrt{5}}{4}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16706

Giải chi tiết

Ta có (x – 4)² + (y – 4)² + 2xy ≤ 32 ⇔ (x + y)² – 8(x + y) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8.

A = (x + y)³ – 3(x + y) – 6xy + 6 ≥ (x + y)³ – $\frac{3}{2}$ (x + y)² – 3(x + y) + 6.

Xét hàm số: f(t) = t³ – $\frac{3}{2}$ t² – 3t + 6 trên đoạn [0; 8].

Ta có f’(t) = 3t² – 3t – 3, f’(t) = 0 ⇔ t = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc t = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (loại).

Ta có f(0) = 6, f( $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ) = $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ , f(8) = 398. Suy ra A ≥ $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ .

Khi x = y = $\frac{1+5\sqrt{5}}{4}$ thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.