Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.

Câu hỏi số 16852:

A. V= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$ , cos(SB,AC)= $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. V= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$ , cos(SB,AC)= - $\frac{\sqrt{2}}{4}$

C. V= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$ , cos(SB,AC)= $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. V= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$ , cos(SB,AC)= $\frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16852

Giải chi tiết

+ Tính V_SACD

Có S_∆ACD = $\frac{1}{2}$ DA.DC= $\frac{1}{2}$ a²

h=SA=a√3 (Vì SA vuông góc với đáy)

=> V= $\frac{1}{3}$ .SA.S_∆ACD= $\frac{1}{3}$ a√3. $\frac{1}{2}$ a²= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$ (đvtt)

+ Tính cosin góc giữa SB và AC

-Từ O (giao 2 đường chéo AC và BD) kẻ OM//SB

=> Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng góc giữa hai đường thẳng OM và AC

-Xét tam giác COM

Có OM= $\frac{1}{2}$ SB= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}$

= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{(a\sqrt{3})^{2}+a^{2}}$ =a (Vì OM là đường trung bình của tam giác SBD)

OC= $\frac{1}{2}$ AC= $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Có CD⊥AD, CD⊥SA => CD⊥(SAD) => CD⊥SD

=> Tam giác COM vuông tại D

Có MD= $\frac{1}{2}$ SD= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{(a\sqrt{3})^{2}+a^{2}}$ =a

=> CM= $\sqrt{DC^{2}+DM^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+a^{2}}$ =a√2

=> Cos( $\widehat{COM}$ )= $\frac{OM^{2}+OC^{2}-CM^{2}}{2OM.OC}$

= $\frac{a^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}-(a\sqrt{2})^{2}}{2a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}$ = $-\frac{\sqrt{2}}{4}$

=> cos $(\widehat{SB,AC})$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

V_SACD

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.