Cho x,y,z>0 và ++≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=++

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16900:

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= $\frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}$ + $\frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}$ + $\frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}$

A. P_min=- $\frac{3}{4}$

B. P_min= $\frac{1}{4}$

C. P_min= $\frac{3}{4}$

D. P_min=-2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16900

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

$\frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}$ + $\frac{(y+z)}{8}$ + $\frac{(y+z)}{8}$ ≥ $\frac{3}{4}$ x

$\frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}$ + $\frac{z+x}{8}$ + $\frac{z+x}{8}$ ≥ $\frac{3}{4}$ y

$\frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}$ + $\frac{x+y}{8}$ + $\frac{x+y}{8}$ ≥ $\frac{3}{4}$ z

Cộng vế với vế ta được:

P+ $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{2}$ + $\frac{z}{2}$ ≥ $\frac{3}{4}$ x+ $\frac{3}{4}$ y+ $\frac{3}{4}$ z

<=> P≥ $\frac{x+y+z}{4}$ . Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

Mặt khác ta có:

(x+y+z)( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ )≥9

=> (x+y+z).3≥(x+y+z)( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ )≥9

<=> x+y+z≥3

=> P≥ $\frac{3}{4}$ . Dấu bằng xảy ra:x=y=z=1

Vậy P_min= $\frac{3}{4}$ khi x=y=z=1

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.