Tính tích phân I=dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 17086:

Tính tích phân I= $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{xsinx}{1+cos^{2}x}$ dx

A. I= $\frac{\pi^{2} }{4}$

B. I= $\frac{\pi }{4}$

C. I= $\frac{\pi }{2}$

D. I= - $\frac{\pi }{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:17086

Giải chi tiết

Đặt x=π-t => dx=-dt

Đổi cận: x=0, t=π; x=π, t=0

=> I= $\int_{\pi }^{0}$ $\frac{(\pi -t)sin(\pi -t)}{1+cos^{2}(\pi -t)}$ (-dt)

= $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{(\pi -t)sin(\pi -t)}{1+cos^{2}(\pi -t)}$ dt

= $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{(\pi -t)sint}{1+cos^{2}t}$ dt

= $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{\pi sint}{1+cos^{2}t}$ dt - $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{ tsint}{1+cos^{2}t}$ dt

=π $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{sint}{1+cos^{2}t}$ dt - $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{ tsint}{1+cos^{2}t}$ dt

=π $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{sint}{1+cos^{2}t}$ dt -I

=> I= $\frac{\pi }{2}$ $\int_{0}^{\pi }$ $\frac{sint}{1+cos^{2}t}$ dt

Đặt y=cost => dy=(cost)'dt=-sintdt => sintdt=-dy

Đổi cận: t=0, y=1; t=π, y=-1

=> I= $\frac{\pi }{2}$ $\int_{1}^{-1}$ $\frac{-dy}{1+y^{2}}$ = $\frac{\pi }{2}$ $\int_{-1}^{1}$ $\frac{dy}{1+y^{2}}$

Đặt y=tanu => dy= $\frac{1}{cos^{2}u}$ du

Đổi cận: y=-1,u= $\frac{-\pi }{4}$ ; y=1, u= $\frac{\pi }{4}$

=> I= $\frac{\pi }{2}$ $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{1}{1+tan^{2}u}$ . $\frac{1}{cos^{2}u}$ du

= $\frac{\pi }{2}$ $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{1}{\frac{1}{cos^{2}u}}$ . $\frac{1}{cos^{2}u}$ du

= $\frac{\pi }{2}$ $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ du = $\frac{\pi }{2}$ u $|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ = $\frac{\pi }{2}$ ( $\frac{\pi }{4}$ + $\frac{\pi }{4}$ )= $\frac{\pi^{2} }{4}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.